Dénombrements

par **capitaine nuggets** » 24 Jan 2013, 20:10

Bonsoir,

Soient

un ensemble à

éléments et

.
Je n'arrive pas à trouver le nombre de couples

tels que

.

C'est mon premier exercice sur les dénombrements donc j'ai beaucoup de mal.
Merci d'avance pour démarrer.

par **adrien69** » 24 Jan 2013, 20:37

Salut !
Si E est un ensemble à n éléments combien de façon a-t-on de choisir un ensemble B à k éléments inclus dans E ? Combien de façon a-t-on de choisir un ensemble A à j éléments inclus dans B ?

par **capitaine nuggets** » 24 Jan 2013, 21:57

adrien69 a écrit:Salut !
Si E est un ensemble à n éléments combien de façon a-t-on de choisir un ensemble B à k éléments inclus dans E ? Combien de façon a-t-on de choisir un ensemble A à j éléments inclus dans B ?

Il y a

façons de choisir B et

façons de choisir A.

par **adrien69** » 24 Jan 2013, 22:27

Et à partir de là combien de façons de trouver un j qui convient à k fixé ? Puis un k ? Tu devrais vraiment t'en sortir seul là je pense ;)

par **Doraki** » 24 Jan 2013, 22:43

il y a beaucoup plus simple.

Tu dis qu'un tel couple correspond a une fonction f de E dans {0;1;2} via f(x) = 0 si x n'est pas dans B, 1 si x est dans B mais pas dans A, 2 si x est dans A. (et inversement, A = f-1({2}) et B =f-1({1;2}))

par **capitaine nuggets** » 24 Jan 2013, 23:13

Doraki a écrit:il y a beaucoup plus simple.

Tu dis qu'un tel couple correspond a une fonction f de E dans {0;1;2} via f(x) = 0 si x n'est pas dans B, 1 si x est dans B mais pas dans A, 2 si x est dans A. (et inversement, A = f-1({2}) et B =f-1({1;2}))

Ah une sorte de fonction indicatrice quoi ?

par **capitaine nuggets** » 24 Jan 2013, 23:41

adrien69 a écrit:Et à partir de là combien de façons de trouver un j qui convient à k fixé ? Puis un k ? Tu devrais vraiment t'en sortir seul là je pense

Non, je ne vois pas.

Doraki a écrit:il y a beaucoup plus simple.

Tu dis qu'un tel couple correspond a une fonction f de E dans {0;1;2} via f(x) = 0 si x n'est pas dans B, 1 si x est dans B mais pas dans A, 2 si x est dans A. (et inversement, A = f-1({2}) et B =f-1({1;2}))

C'est bien, mais qu'est-ce que je dois en faire ?

par **adrien69** » 25 Jan 2013, 03:10

capitaine nuggets a écrit:Non, je ne vois pas.

C'est bien, mais qu'est-ce que je dois en faire ?

Il faut que tu sommes

par **Kikoo <3 Bieber** » 25 Jan 2013, 09:18

capitaine nuggets a écrit:Bonsoir,

Soient un ensemble à éléments et .
Je n'arrive pas à trouver le nombre de couples tels que .

C'est mon premier exercice sur les dénombrements donc j'ai beaucoup de mal.
Merci d'avance pour démarrer.

Salut,
D'abord, détermine le nombre de choix de B, tel que card(B)=k. Indépendamment de ce choix, quel est le nombre de choix de A avec A inclu dans B ?
Grâce à ces deux éléments, tu peux déterminer le nombe de couples (A,B) de parties de E tels que A est inclu dans B et card(B)=k.
Maintenant, tu peux sommer pour k allant de 0 à n !

Sauf erreur.

par **adrien69** » 25 Jan 2013, 12:53

Kikoo <3 Bieber a écrit:
Sauf erreur.

En même temps quand on répète ce que je viens de dire hein ?

par **Kikoo <3 Bieber** » 25 Jan 2013, 19:28

J'ai pas le temps de lire ce que disent les autres, le matin :p

par **capitaine nuggets** » 25 Jan 2013, 20:51

adrien69 a écrit:Il faut que tu sommes

Il faut que je somme quoi ? Les x dans E ?

par **capitaine nuggets** » 25 Jan 2013, 22:14

adrien69 a écrit:Il faut que tu sommes

Il faut que je somme quoi ? Les x dans E ?

?

par **Doraki** » 25 Jan 2013, 22:17

pas du tout, je te rappelle ta question : il faut que tu comptes le nombre de couples (A,B) où A et B sont des parties de E et A est inclus dans B.

par **capitaine nuggets** » 26 Jan 2013, 00:12

Je ne comprends pas :cry:

par **raph107** » 26 Jan 2013, 01:54

capitaine nuggets a écrit:Je ne comprends pas

adrien69 et Kikoo <3 Bieber t'ont donné les indications pour faire ton exercice. Voici une solution:

On commence par choisir une partie B à k éléments. Il y a combien de manières de la choisir dans un ensemble à n éléments? Tu as déjà répondu à cette question: il y a

possibilités.

Maintenant B étant une partie à k éléments, quel est le nb des parties A incluses dans B?
C'est le nb de parties de B qui est égal à

.

k varie de 0 à n, donc le nb de couples (A,B) est:

par **adrien69** » 26 Jan 2013, 02:00

Voilà les notations que j'emploierai :

est l'ensemble des parties à k éléments de E
Je noterai

un élément de

est l'ensemble des parties de

à j éléments.
Je note # le cardinal
Pour

, le nombre de façons de trouver un sous-ensemble

de

est donc

Et comme on l'a dit au fil de la discussion

Donc on se retrouve avec le nombre de façons de trouver un sous-ensemble

de

qui vaut

Or on a

façons de choisir un ensemble B à k éléments dans E
Donc le nombre de façons de trouver

est

, ce qui se calcule aisément avec le binôme de Newton :

En espérant avoir été clair.

EDIT : Raph m'a devancé, dans ces cas là j'efface ?
J'ai pas voulu donner la formule sur le nombre de parties qui je pense est vue comme une conclusion de binôme de Newton, c'est toujours bon de revoir d'où viennent les choses.
D'ailleurs comment est-ce que tu écris k parmi n comme ça ? J'ai été obligé d'employer la notation désuète

...

par **capitaine nuggets** » 26 Jan 2013, 02:12

raph107 a écrit:adrien69 et Kikoo <3 Bieber t'ont donné les indications pour faire ton exercice. Voici une solution:

On commence par choisir une partie B à k éléments. Il y a combien de manières de la choisir dans un ensemble à n éléments? Tu as déjà répondu à cette question: il y a possibilités.

Maintenant B étant une partie à k éléments, quel est le nb des parties A incluses dans B?
C'est le nb de parties de B qui est égal à .

k varie de 0 à n, donc le nb de couples (A,B) est:

Ah d'accord, c'est bon, je viens de comprendre :++: merci
Et du coup, comment on peut le montrer avec la fonction f introduite par Doraki ?

par **adrien69** » 26 Jan 2013, 02:17

capitaine nuggets a écrit:Ah d'accord, c'est bon, je viens de comprendre :++: merci
Et du coup, comment on peut le montrer avec la fonction f introduite par Doraki ?

Compter le nombre de fonctions f de E dans {0,1,2} est facile, c'est

D'ailleurs bien joué Doraki !

par **raph107** » 26 Jan 2013, 02:50

adrien69 a écrit:
EDIT : Raph m'a devancé, dans ces cas là j'efface ?
J'ai pas voulu donner la formule sur le nombre de parties qui je pense est vue comme une conclusion de binôme de Newton, c'est toujours bon de revoir d'où viennent les choses.
D'ailleurs comment est-ce que tu écris k parmi n comme ça ? J'ai été obligé d'employer la notation désuète ...

On a posté pratiquement au même moment, c'est le hasard, comme ça capitaine nuggets a d'un seul coup plusieurs réponses détaillées.

Pour la notation du nb de combinaisons, tu utilises la notation matricielle (2 lignes et 1 colonne).

Effectivement l'indication de Doraki, que je n'avais pas comprise, est plus astucieuse mais elle nécessite de montrer que l'ensemble des couples (A,B) et l'ensemble des applications de E dans {0;1;2} sont de même cardinal.

Bonne soirée

Dénombrements

Dénombrements

Qui est en ligne