Dénombrements

[s.wilks]

Bonjour.

Je me permets de vous soumettre un problème de dénombrement. Mon livre donne bien la solution, mais je ne la comprends pas.

Voici l'énoncé:
"On considère une table circulaire. n convives y prennent place. Combien y a-t-il de dispositions possibles, sachant que seules comptent les dispositions relatives des convives ?
(deux dispositions sont identiques si chaque convive a les mêmes voisins)."

Quelqu'un peut-il m'aider ?
Je vous remercie par avance.

s.wilks

[nodjim]

Prends 4 convives par exemple, numérotés 1234.
Les arrangements possibles sont au nombre de 4! Mais parmi ceux là, il y a des redondances du fait de la boucle.
1234=2341=3412=4123
résultat: n!/n=(n-1)!

[s.wilks]

Nodjim,

Je te remercie, notammnent pour la rapidité de ta réponse.
Mais, en suivant ton exemple, je ne vois pas pourquoi:
- il n'y a pas d'autres combinaisons à supprimer
- il faut supprimer ces 4 combinaisons

Pourrais-tu détailler un peu plus la solution ?
Merci d'avance.

s.wilks

[nodjim]

Oui, je détaille:
1234=2341=3412=4123
1324=3241=2413=4132
1243=2431=4312=3124
1342=3421=4213=2134
1423=4231=2314=3142
1432=4321=3214=2143
Donc les 24 arrangements possibles se classent en 6 groupes.
Si tu regardes bien, dans chacun des groupes, chaque numéro est placé en tête 1 fois et une seule, ce qui parait tout à normal, étant donné qu'on peut démarrer l'identification de chaque arrangement de table à n'importe quel endroit.

[s.wilks]

Nodjim,

je te remercie, notamment pour la précision de ta réponse.
Là, j'y vois plus clair. Mais je ne sais pas si je serais capable de reproduire ton raisonnement dans le cas où n=5.
Merci.

s.wilks

[hammana]

Nodjim,

je te remercie, notamment pour la précision de ta réponse.
Là, j'y vois plus clair. Mais je ne sais pas si je serais capable de reproduire ton raisonnement dans le cas où n=5.
Merci.

s.wilks

Je raisonne directement dans le cas de n convives. Puisque seule la position relative des convives compte, nous pouvons supposer qu'un convive particulier occupe toujours la même place. Il reste
n-1 convives qui peuvent occuper les n-1 places restantes dans un ordre quelconque. Le nombre de dispositions différentes est égal au nombre de permutations de n-1 objets, soit (n-1)!
Le point crucial est de démontrer la formule donnant le nombre de permutations, elle est facile à trouver

[s.wilks]

Bonjour Hammana.

Désolé pour le retard.
Je te remercie pour la rapidité et la clarté de ta réponse.
Là, peut-être que je ne devrais pas, mais je trouve ça limpide....
Mais... comment peut-on être sûr qu'on ne dénombre pas plusieurs fois la même situtation ?

Merci encore.

s.wilks

[hammana]

Bonjour Hammana.

Désolé pour le retard.
Je te remercie pour la rapidité et la clarté de ta réponse.
Là, peut-être que je ne devrais pas, mais je trouve ça limpide....
Mais... comment peut-on être sûr qu'on ne dénombre pas plusieurs fois la même situtation ?

Merci encore.

s.wilks

C'est pour ne pas dénombrer plusieurs fois la même situation que j'ai supposé q'une personne déterminée occupe toujours la même place.
Sans cette hypothèse je devrais dire qu'il y a n! permutations, mais n dispositions se déduisent de la même par rotation, alors je divise par n et je retombe sur (n-1)!

[s.wilks]

Bonjour Hammana,

je suis désolé pour le retard de ma réponse mais j'étais pris ailleurs.
Je te remercie pour ta réponse.

s.wilks