Dénombrements

[s.wilks]

Bonjour.

J'ai un souci avec un exercice de dénombrements. J'ai trouvé un résultat mais j'aimerais bien que vous me le confirmiez. Voici l'énoncé:

"Un cinéma donne 52 films dans l'année, dont 13 films policiers.
M.Dupont va 4 fois l'an voir un film dans ce cinéma.
On appelle X la variable aléatoire qui, à une série de 4 films vus par M.Dupont, associe le nombre de films policiers qu'elle comporte.
Déterminer la loi de probabilité de X."

Et voici mon raisonnement:

"Cette expérience consiste en la répétition de n = 4 épreuves identiques dont les résultats sont indépendants les uns des autres.
Chaque épreuve a une probabilité p = (13/52) de succès et 1-p = (39/52) d'échec.
On note k le nombre de succès parmi les n = 4 épreuves et n-k le nombre d'échecs.
On est donc dans le cadre d'un schéma de Bernoulli
et, pour 0<= k <= 4, on note p(X = k) la loi de probabilité de X.

On a alors p(X=k) = (k parmi 4).(p^k).(1-p)^(4-k)
L'application numérique donne:
p(X = 0) = 0,316
p(X = 1) = 0,422
p(X = 2) = 0,211
p(X = 3) = 0,047
p(X = 4) = 0,004 "

Voilà. J'espère que vous parviendrez à me relire,
que mon raisonnement soit correct ou pas.
Merci d'avance pour vos réponses.

s.wilks

[wserdx]

Je pense que ton raisonnement n'est pas correct.
On peut rapprocher le problème du suivant : dans une urne contenant 52 boules (éventuellement numérotées), dont 13 sont blanches et les autres noires. On tire 4 boules "sans remise". Quelles sont les probabilités d'avoir zéro, une, deux, trois ou quatre boules blanches. Le fait que les tirages sont "sans remise" implique qu'ils ne sont pas indépendants!

[s.wilks]

Bonjour wserdx et merci pour la rapidité de ta réponse.

Alors, si j'ai bien compris, on pose Oméga = { ensemble de 4 films pris parmi 52 },
et, pour 0<= k <= 4, Oméga k = { ensemble de k films policiers pris parmi 13 }.

On a card (Oméga) = (4 parmi 52) et, pour 0<= k <= 4, card (Oméga k) = (k parmi 13).

D'où p(X = k) = card (Oméga k) / card (Oméga) = (k parmi 13) / (4 parmi 52).

Est-ce Ok ?

Mais je n'ai pas très bien compris ce qui colchait dans mon raisonnement précédent.

Merci d'avance pour vos réponses.

s.wilks

[wserdx]

Presque.
P(X=k) = (k parmi 13) * ((4-k) parmi (52 - 13)) / (4 parmi 52)
Dans ton raisonnement précédent tu considérais que M. Dupont pouvait aller au cinéma 4 fois le même jour.