Demonstrations TRIGO

[DELPHINE42]

Encore un problème de trigo, c'est vraiment pas ma tasse de thé !

Dans un triangle ABC quelconque, démontrer:
cos²A+cos²B+cos²C = 1- 2 cosA cosB cos C

Merci d'avance pour les tuyaux !

[nekros]

Salut,

Pose
Il faut donc montrer que

En utilisant le fait que , on a donc :



Donc

Remplace ensuite par

Après, il suffit de jongler avec les formules de trigo.

Je te laisse continuer.
N'hésite pas si tu bloques.

Thomas G :zen:

[DELPHINE42]

Merci Nekros pour tes réponses, néanmoins pour cette démo j'avais bien pense à utiliser le fait que A+B+C=1 mais c'est après que je bloque je ne vois pas comment simplifier l'expression suivante:

x= cos²A + cos²B - cos²(A+B) + cosA cosB + sin A sin B

[nekros]

Tu voulais sûrement dire :lol4:

Remplace également par puis développe l'expression :



Thomas G :zen:

[nekros]

Alors ?

Tu verras, ça se simplifie bien !

Thomas G :zen:

[DELPHINE42]

Ben écoute, je dois vraiment pas avoir les idées claires... j'arrive à cette expression et après je bloque encore !

x=cos²A + cos²B - cos²A cos²B - sin²A sin²B

comment peut on simplifier ça ?

[fonfon]

salut,

on veut cos²A+cos²B+cos²C=1-2cosAcosBcosC

A=pi-(B+C) et cosA=-cos(B+C)=-[cosBcosC-sinBsinC]

d'où
cos²A=cos²Bcos²C+sin²Bsin²C-2sinBsinCcosBcosC
ou cos²A=cos²Bcos²C+(1-cos²B)(1-cos²C)-2sinBsinCcosBcosC

donc

cos²A=cos²Bcos²C+1-cos²B-cos²C+cos²Bcos²C-2sinBsinCcosBcosC
cos²A=1-cos²B-cos²B+2cosBcosC(cosBcosC-sinBsinC)

or cosBcosC-sinBsinC=cos(B+C) on a B+C=pi-A donc cos(B+C)=-cosA

il vient donc:
cos²A=1-cos²B-cos²C-2cosAcosBcosC

donc on obtient bien la relation:
cos²A+cos²B+cos²C=1-2cosAcosBcosC

A+

[nekros]

Bonjour,

On a donc

Donc

Et donc

CQFD

Thomas G :zen: