Démonstration d'une propriété de la médiatrice

[chombier]

Bonjour à tous,

Je prépare un cours niveau 5ème, et je reste très sceptique devant quelques propriétés admises, étant moi même totalement incapable de n'avoir ne serait-ce que le début d'une démonstration :

Définition : La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

Propriété : La médiatrice d'un segment est une droite qui coupe perpendiculairement ce segment en son milieu.

Comment feriez-vous pour démontrer (ou donner des pistes) à un étudiant en L2, que la propriété est vraie ? Dans quel cadre (espace affine, espace euclidien...), avec quels outils, en s'appuyant sur quelle axiomatique... ?

Toutes les pistes sont bonnes à prendre ! Evitez juste de m'embrouiller, on reste dans la géométrie euclidienne, pas de géométrie elliptique ou hyperbolique !!!

Merci d'avance

[Robot]

Puisqu'on parle de distance et de perpendicularité, le cadre ne peut être que celui de la géométrie euclidienne.
De par sa définition, la médiatrice du segment [AB] est invariante par la symétrie orthogonale d'axe (AB).

[siger]

Bojour

une piste a l'ancienne(!) ....
1- le milieu M du segment verifie la definition
2- a partir d'un point quelconque de la mediatrice les deux triangles formes avec les extremites sont egaux, ...les angles en M sont egaux et leur somme est egale a pi.

[zygomatique]

salut

soient A et B deux points et D la perpendiculaire à (AB) passant par le milieu I du segment [AB]

soit M un point du même que côté que A par exemple

tracer les cercles C(A, AM) et C(B, BM) ....

[chan79]

Salut
une idée à creuser...
est la perpendiculaire à (AB) qui passe par I, milieu de [AB].
Si M appartient à d, il est équidistant de A et B (Pythagore)
Réciproquement (voir figure)
Soit M, du côté de A, équidistant de A et B.
[MB] et d se coupent en J.
MA=MB=MJ+JB=MJ+JA soit MA=MJ+JA (impossible)
Evidemment, en 5° .... ?

[zygomatique]

avec l'inégalité triangulaire ... bien sur ...

[beagle]

en cinquième Pythagore semble direct , non?:
A, B et M,
soit I, MI = h = hauteur du triangle ABM

alors AM² = Ai² + h² = h²+IB² = BM²

[chombier]

en cinquième Pythagore semble direct , non?:
A, B et M,
soit I, MI = h = hauteur du triangle ABM

alors AM² = Ai² + h² = h²+IB² = BM²

Pythagore c'est en 4ème et c'est admis.

[beagle]

Pythagore c'est en 4ème et c'est admis.

ah vi, elle a grandi ma gosse maintenant.
Sinon la médiatrice on la construisait au compas mème rayon centre en A et en B,
la seule symétrie est légère comme démonstration, mais bon,
on tourne sur les idées précédentes, OK...

PS: déménagement, je suis tombé sur un petit livret de cinquième:
cela n'a pas de rapport, c'est sur le implique et équivalence QS vieux fils de discussion,
l'implique c'est pour le postbac
la citation:"la relation d'équivalence a été solidement étudiée en sixième"
c'est un livre des parents sic!
pas de l'élève , pas du maitre, un livre des parents, ça décoiffe non?
bon, c'est HS désolé mais j'ai pas pu ne pas replacer cette "découverte" qui me fait faire atchoum à cause des acariens de ce vieux doc ...