Démonstration TVI

[zouzou8]

Bonjour le forum,

J'ai une question sur la démonstration du TVI. On nous a présenté plusieurs manières de démontrer le TVI dont la suivante (je rédige assez légèrement) :

Soit une fonction continue sur un segment.
On choisit le cas où , et on considère tel que .

1. On introduit . est non vide et majoré donc il admet une borne sup. : .

2. Dans cette partie on montre que par existence d'une suite contenue dans telle qu'elle converge vers . Comme est continue en , alors converge vers . On a donc : .

3. Dans cette partie on montre que . Si , alors on a fini. Sinon, pour , on a . Or, étant donné que est continue en , f admet une limite à droite en valant . On obtient donc .

Pas de souci pour comprendre cette démonstration, mais je me demande pourquoi utiliser une suite dans la partie 2 et la limite à droite en pour la partie 3 ? Spontanément, j'aurais :
- soit utilisé deux suites (celle de la partie 3 tendant vers ) ; cette démo serait proche de la construction de deux suites adjacentes convergentes vers ;
- soit utilisé la limite à gauche (partie 2) et la limite à droite (partie 3) en .

Ces démonstrations seraient-elles correctes ? (j'ai le sentiment que oui mais comme elles n'ont pas été présentées, c'est possible que je loupe un truc ...).

Merci pour vos retours !

[Ben314]

Salut,

Spontanément, j'aurais :
- soit utilisé deux suites (celle de la partie 3 tendant vers ) ; cette démo serait proche de la construction de deux suites adjacentes convergentes vers ;
- soit utilisé la limite à gauche (partie 2) et la limite à droite (partie 3) en .

- Concernant le fait d'utiliser des suites à la fois à droite et à gauche, 'est O.K. : modulo d'avoir traité à part le cas où c=b, tu peut prendre et montrer qu'à partir d'un certain rang on a bien .
- Par contre, concernant le fait d'utiliser des "limites directionnelles" des deux cotés, là, ça ne marche pas : autant "à droite", par définition de c, tu sait que tout les x>c sont dans le complémentaire de l'ensemble A, donc tels que f(x)>y, autant "à gauche", rien ne te permet de dire que tout les x<c (et proche de c) sont dans A.
Vu la définition de c, tout ce que tu sait "à gauche", c'est qu'il existe des x<c aussi proche que tu veut de c qui sont dans A.

[zouzou8]

Merci Ben !
Je pense avoir compris ta réponse. Juste une question : quand tu dis "Vu la définition de c, tout ce que tu sait "à gauche", c'est qu'il existe des x<c aussi proche que tu veut de c qui sont dans A.", il pourrait y avoir par exemple des cas où, sur un intervalle très petit type [c-epsilon ; c] (avec epsilon arbitrairement proche de 0), la fonction f continue oscille une infinité de fois autour de l'horizontale y=c ? Un peu comme cos(1/x) autour de 0 ? (j'espère que c'est clair ...)

[Ben314]

Oui.
Par exemple si tu prend (qui est continue sur [-1,1]) et que tu prend y=0, c'est qui l'ensemble A de ton théorème ?

[zouzou8]

Salut Ben,
Voilà c'est exactement à ce genre de fonction à laquelle je pensais. Merci de l'avoir formulée
Effectivement, on a (enfin je trouve) :
Donc, aussi près que l'on soit de (ici ), il y aura toujours une discontinuité dans , donc pas possible d'utiliser la limite directionnelle à gauche.
Merci beaucoup !