Démonstration théorème ceva

[Anonyme]

bonjour à tous
j'ai un devoir à faire sur la démonstration des théorèmes de Ceva et Menelaus et j'ai quelques petits endroits ou je bute

donc deja l'énoncé, un triangle ABC quelconque, A' appartient à (BC), B' appartient à (AC) et C' à (AB)
pour Ceva il s'agit de montrer que (AA'), (BB') et (CC') parallèles ssi A'B/A'C * B'C/B'A * C'A/C'B = -1 (en longueurs algébriques)

donc pour démontrer ce théorème, pas de soucis
aprés on doit l'appliquer pour montrer que les médianes, bissectrices et hauteurs sont concourantes
et j'ai un problème avec les hauteurs ...
il y a deux cas : soit les trois hauteurs sont à l'intérieurs, soit une est à l'intérieur et deux à l'extérieur..

pour le premier cas, on a des rapport avec les tangentes
en appelant a l'angle BAC, b l'angle ABC et c l'angle ACB, on a
A'B = AA'/tan b et A'C =AA'/tan c ce qui donne A'B/A'C = tan c/tan b
mais notre prof nous a dit qu'on doit avoir un signe - à chaque rapport pour que le produit des trois fasse -1 mais je vois pas où il y aurait un signe - dans les relations que j'ai écrites ... je sais pas les relations trigo avec les longueurs algébriques ça me bloque

et pour le deuxième cas, je sais pas du tout comment faire, car on a plus les angles a,b et c


et ensuite pour Menelaus, j'aurais aimé savoir comment à partir de Menelaus on retrouve rapidement Ceva, je tourne un peu en rond

voila je sais que c'est long, merci pour ceux qui auront le courage de lire, en espérant trouver un peu d'aide, ça fait des heures que j'y bosse dessus et à force j'y vois plus rien :lol:
merci

[Maxmau]

Bj

ABC : un triangle
A’ sur (BC) , B’ sur (CA) , C’ sur (AB)

Dans le cas où A’,B’,C’ sont les pieds des hauteurs, on a (avec des mesures algébriques):
A’B/A’C = - tanC/tanB que A’ soit entre B et C ou à l’extérieur

Passage de Menelaus à Ceva
Je note A’’ le conjugué harmonique de A’ par rapport à B et C
D’après la construction de la polaire d’un point par rapport à 2 droites, montre que
(AA’) , (BB’) , (CC’) concourantes équivaut à A’’,B’,C’ alignés

[Anonyme]

merci pour la réponse !! je vais essayer de faire ça pour passer de Menelaus à Ceva

pour les hauteurs j'ai résolu mon soucis oui par contre A'B/A'C = -tan C/tan B si A' est entre B et C mais le rapport est positif si A' est à l'extérieur car on utilise pas les mêmes angles ..c'est ce que nous a dit notre prof cette aprés midi