Demonstration

[magy]

Bonjour,je coince sur ceci:
Montrer que ;) n;)N:
n(n+1)(n+2)(n+3) est divisible par 24,n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) est divisible par 24.
n(n+1)(n+2)(n+3) est divisible par 120.

[capitaine nuggets]

Salut !

Bonjour,je coince sur ceci:
Montrer que n;)N:
n(n+1)(n+2)(n+3) est divisible par 24,n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) est divisible par 24.
n(n+1)(n+2)(n+3) est divisible par 120.

Déjà tu peux remarque que si n(n+1)(n+2)(n+3) est divisible par 24 alors il en est de même pour n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) :++:
Que peux-tu dire en terme de divisibilité sur le produit de deux entiers (naturels) consécutifs ?
Si tu ne voies pas, étudie la parité de n(n+1).
Que peux-tu dire en terme de divisibilité sur le produit de trois entiers (naturels) consécutifs ?

Le dernier est faux par contre : pour n=1, 1x2x3x4=24 n'est pas divisible par 120...

[WillyCagnes]

bjr,

pour les nombres consécutifs seulements: on a

le produit P=n(n+1) est un multiple de 2
donne des valeurs à n
si n est pair et n(n+1) impair le produit est pair
si n est impair alors n+1 est pair et le produit est pair divisible par 2

ensuite P= n(n+1)(n+2) est multiple de 2 et 3 donc de 6=3!
donne la valeur n=1,2,3 pour verifier

ensuite P=n(n+1)(n+2)[n+3] est multiple de 4 et de 6 donc du produit 24
n=1 p= 1x2x3x4 =24 d'ou p est div par 24
n=2 p=2x3x4x5 =120 d'ou p est div par 24 =4!
..
et pour P(n+4) est aussi multiple de 24 donc divisible par 24 et par 120=5!

[deltab]

Bonsoir

bjr,

pour les nombres consécutifs seulements: on a

le produit P=n(n+1) est un multiple de 2
donne des valeurs à n
si n est pair et n(n+1) impair le produit est pair
si n est impair alors n+1 est pair et le produit est pair divisible par 2

ensuite P= n(n+1)(n+2) est multiple de 2 et 3 donc de 6=3!
donne la valeur n=1,2,3 pour verifier

ensuite P=n(n+1)(n+2)[n+3] est multiple de 4 et de 6 donc du produit 24
n=1 p= 1x2x3x4 =24 d'ou p est div par 24
n=2 p=2x3x4x5 =120 d'ou p est div par 24 =4!
..
et pour P(n+4) est aussi multiple de 24 donc divisible par 24 et par 120=5!

Petite erreur dans

si n est pair et n(n+1) impair le produit est pair

Je suppose que tu voulais dire:
si n est pair alors n+1 est impair et le produit est pair.
Remarques: Il est inutile de préciser que n+1 est impair, pour tout entier m, le produit nm est pair.

ensuite P=n(n+1)(n+2)[n+3] est multiple de 4 et de 6 donc du produit 24

4 et 6 ne sont pas premiers entre eux, la conclusion est donc erronée, exemple 12.
Si on montre que P est un multiple de 8 et de 3, alors on aura bien P est un multiple de 24 car 3 et 8 sont premiers entres eux. P est le produit de 4 entiers consécutifs, il contient un facteur multiple de 3 et deux facteurs distincts dont l'un est pair et l'autre multiple de 4 (et sera donc multiple de 8).

[magy]

s n pair alors n(n+1) est pair de meme si n est impair alors n(n+1) est pair.Dois je en déduire que puisque n(n+1) est pair alors 24 est un diviseur de n(n+1)?

[deltab]

Quant à la divisibilité par 120=24 x 5, je crois que magy a fait une erreur d'énoncé: c'est n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) qui est un multiple de 120 et n(n+1)(n+2)(n+3) qui l'est.
pour que P =n(n+1)(n+2)(n+3) soit divisible par 120, il faut déjà qu'il soit divisible par 24 et par 5 ( 24 et 5 sont premiers entre eux) donc un des facteurs est un multiple 5 (5 est premier), c'est le cas où n=5k, n=5k+2, n=5k+3 et n=5k+4 k entier, mais ce ce n'est plus le cas si n=5k+1.
Pour P=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4), P est déjà un multiple de 24 puisque n(n+1)(n+2)(n+3) l'est déjà, il sera divisible par 120 s'il est divisible par 5 et c'est la cas: le produit de 5 entiers consécutifs contient toujours un facteur multiple de 5.

[magy]

s n pair alors n(n+1) est pair de meme si n est impair alors n(n+1) est pair.Dois je en déduire que puisque n(n+1) est pair alors 24 est un diviseur de n(n+1)?

[deltab]

Bonjour.

s n pair alors n(n+1) est pair de meme si n est impair alors n(n+1) est pair. Dois je en déduire que puisque n(n+1) est pair alors 24 est un diviseur de n(n+1)?

Malheureusement NON! exemple n=1, .
La divisibilité d'un entier par 24 nécessite que ce nombre soit divisible par 8 et par 3 car 8 et 3 sont premiers entre eux. Un entier divisible par 6 et 4 n'est nécessairement divisible par 24=6x4. (6 et 4 ne sont premiers entre eux)

[zygomatique]

salut

le produit de k entiers consécutifs est multiple de k ....

[Ben314]

salut

le produit de k entiers consécutifs est multiple de k ....

Et... c'est insufisant ici vu qu'il faut en particulier montrer que le produit de 4 entiers consécutifs est multiple de 8...

[deltab]

Bonjour.

Et... c'est insufisant ici vu qu'il faut en particulier montrer que le produit de 4 entiers consécutifs est multiple de 8...

et c'est bien le cas car parmi ces facteurs, il y en a deux distincts dont l'un est pair et l'autre un multiple de 4. J'en avais fait la remarque plus haut haut sans le démontrer, c'est le moment peut-^tre de faire. Soit P=n(n+1)(n+2)(n+3), alors:
n=4k \Rightarrow P=4k(4k+1)(4k+2)(4k+3)=8k(4k+1)(2k+1)(4k+3)
n=4k+1 \Rightarrow P=(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4)=8(4k+1)(2k+1)(4k+3)(k+1)
n=4k+2 \Rightarrow P=(4k+2)(4k+3)(4k+4)(4k+5)=8(2k+1)(4k+3)(2k+1)(4k+5)
n=4k+3 \Rightarrow P=(4k+3)(4k+4)(4k+5)(4k+6)=8(4k+3)(k+1)(4k+4)(2k+3)

[deltab]

Bonjour.

Et... c'est insufisant ici vu qu'il faut en particulier montrer que le produit de 4 entiers consécutifs est multiple de 8...

et c'est bien le cas car parmi ces 4 facteurs, il y en a deux distincts dont l'un est pair et l'autre un multiple de 4. J'en avais fait la remarque plus haut sans le démontrer, c'est le moment peut-être de faire.
Soit P=n(n+1)(n+2)(n+3), alors (les deux facteurs sont mis en gras):
n=4k P=4k(4k+1)(4k+2)(4k+3) = 8 k(4k+1)(2k+1)(4k+3)
n=4k+1 P=(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4) = 8 (4k+1)(2k+1)(4k+3)(k+1)
n=4k+2 P=(4k+2)(4k+3)(4k+4)(4k+5) = 8 (2k+1)(4k+3)(k+1)(4k+5)
n=4k+3 P=(4k+3)(4k+4)(4k+5)(4k+6) = 8 (4k+3)(k+1)(4k+5)(2k+3).

On pourra aussi remarquer que parmi ces 4 facteurs, il y a 2 facteurs qui sont des entiers pairs consécutifs et que parmi ces 2 facteurs, il y en a un qui est un multiple de 4 d'où la conclusion.

[Ben314]

Plutôt que de faire tout les cas modulo 4, perso, j'aurais plutôt dit que, lorsque l'on a deux entiers pairs succcesif 2m et 2(m+1) un des deux est multiple de 4 vu que, entre m et m+1, un des deux est pair...

[zygomatique]

bien sur que c'est insuffisant ... ce n'est que le début que vous avez complété :

parmi quatre entiers consécutifs deux sont pairs et l'un est multiple de 4 ce qui suffit amplement ....

l'important était de trouver un multiple de 4, puisqu'on trouve un autre multiple de 2 ....