Demonstration

[magy]

Bonsoir,je coince sur ceci:
Soient A,B deux ensembles et f une aplication de A dans B.Demontrer que les propositions suivantes sont equivalentes:
a)Pour toute partie X de A,f^-1(f(x))=X.
b)f est injective.
Même question pour les propositions suivantes:
c)Pour toute partie Y de B f[f^-1(Y)]=Y
d)f est surjective.

[jujudu597]

http://www.cmi.univ-mrs.fr/~rigat/Licence/Corrigeexos0.pdf

Une démonstration est faite fin de la page 1 et début de la 2

[magy]

Merci beaucoup!!

[jujudu597]

J'arrivais pas non plus ^^

[Ben314]

Salut,
Vu que ce n'est pas indispensable du tout, à mon avis, il vaut mieux proposer une preuve directe qu'une preuve par l'absurde (ou, par essence même, ce qu'on écrit est... du n'importe quoi...) :
On considère une application
- Supposons que, pour tout , on ait et montrons que est injective.
Pour ce faire, considérons deux éléments et de tels que et appliquons notre hypothèse avec :

Or l'image directe n'est autre que (l'ensemble des images par des éléments du singleton est le singleton ) et, comme , on a ce qui signifie (par définition d'une image réciproque) que c'est à dire que soit encore . C.Q.F.D.
- Montrons (sans aucune hypothèse) que, pour tout , on a :
Soit une partie quelconque de et un élément quelconque de . On doit montrer que c'est à dire (définition d'une image réciproque) que . Mais cette dernière proprosition est évidente vu que est l'image de qui est dans .
- Montrons que, si est injective alors pour tout , on a :
On suppose donc injective, on considère une partie quelconque et un élément quelconque . On a donc (par définition d'une image réciproque) ce qui signifie (définition d'une image directe) qu'il existe un tel que . Mais comme f est supposée injective, cela implique que et donc que (vu que ). C.Q.F.D.

Rappel des définition :
- Image directe :
Si est un élément de et une partie de , "" signifie qu'il existe un tel que
- Image réciproque :
Si est un élément de et une partie de , "" signifie que