Salut,
Vu que ce n'est pas indispensable du tout, à mon avis, il vaut mieux proposer une preuve directe qu'une preuve par l'absurde (ou, par essence même, ce qu'on écrit est... du n'importe quoi...) :
On considère une application
- Supposons que, pour tout
, on ait
et montrons que
est injective.
Pour ce faire, considérons deux éléments
et
de
tels que
et appliquons notre hypothèse avec
:
Or l'image directe
n'est autre que
(l'ensemble des images par
des éléments du singleton
est le singleton
) et, comme
, on a
ce qui signifie (par définition d'une image réciproque) que
c'est à dire que
soit encore
. C.Q.F.D.
- Montrons (sans aucune hypothèse) que, pour tout
, on a
:
Soit
une partie quelconque de
et
un élément quelconque de
. On doit montrer que
c'est à dire (définition d'une image réciproque) que
. Mais cette dernière proprosition est évidente vu que
est l'image de
qui est dans
.
- Montrons que, si
est injective alors pour tout
, on a
:
On suppose donc
injective, on considère une partie quelconque
et un élément quelconque
. On a donc (par définition d'une image réciproque)
ce qui signifie (définition d'une image directe) qu'il existe un
tel que
. Mais comme f est supposée injective, cela implique que
et donc que
(vu que
). C.Q.F.D.
Rappel des définition :-
Image directe :
Si
est un élément de
et
une partie de
, "
" signifie qu'il existe un
tel que
-
Image réciproque :
Si
est un élément de
et
une partie de
, "
" signifie que