Démonstration sur l'algèbre

[Florix]

Bonjour,

Je n'arrive pas à demontrer que si on a p un projecteur,

rg (p) = tr(p) c'est à dire que le rang est égal à la trace

Savez vous comment on fait ? Ou puis-je trouver la démonstration ?

Merci d'avance
Florix

[yos]

C'est très simple comme exo. Utilise la somme directe de E en Imu et Ker u . Tu prends la matrice de u dans une base adaptée à cette somme directe (c'est-à-dire une base de E où l'on a accolé une base du noyau à une base de l'image).

[Florix]

Hum je vois pas bien comment faire parce que comment puis-je déterminer la matrice ? Puis-je avoir plus d'explications yos stp ? Ce serait très gentil de ta part (merci à toi de m'aider)

[yos]

Si x est dans le noyau, p(x)=0.
Si x est dans l'image p(x)=x.
Comment est la matrice?

[Florix]

Ben la matrice vaut O, et donc ?? Je vois pas bien ! (rappel : je suis nul en maths) Parce que de toute façon c'est la définition du noyau....
:triste:

[Florix]

Ah oui c'est bon je viens de comprendre en effet c'est simple comme exo

Merci yos ! :++:

[yos]

Je reprends :
On choisit une base de Imp et une base de Kerp. Alors est une base de E.
On cherche la matrice de p dans cette base, donc on calcule pour chaque indice i.
Si i est entre 1 et k, on a .
Si i est entre k+1 et n, on a .
Donc la matrice est une matrice diagonale et sa diagonale renferme k "un" suivis de (n-k) "zéros".
Sa trace est k, son rang est k.

[yos]

Ah oui c'est bon je viens de comprendre en effet c'est simple comme exo

Merci yos ! :++:

Alors j'ai repris pour rien! Bon courage.