Démonstration série réelle

[lejudoka91]

Bonjour a tous, je suis occupé a preparer mon cours de mathématiques pour la gestion et je vois qu'une démonstration manque a l'appel :( J'ai eu beau essayer, je n'arrive pas a demontrer :(
C'est pourquoi je demande votre aide :)

Il faut donc démontrer que la somme de n allant de 0 vers l'infini de a^n vaut soit 1/(1-a) dans le cas ou l a l <1 et n'existe pas dans R lorsque i a i >= 1

Cette démonstration se situe dans le cadre de séries réelles :)
Les indications fournies sont d'utiliser les suites exponentielles, les règles de calcul des limites ainsi que les sous-suites :)


Merci d'avance :)

[XENSECP]

ba la somme finie on sait ce qu'elle vaut ;) Après c'est un simple passage à la limite , A CONDITION de pouvoir appliquer le théorème d'interversion série/limite... et ça je sais plus exactement l'intitulé mais c'est bourré d'hyptohèses ;)

[Joker62]

Y'a aucune inversion Somme/Limite à faire :^)

Payer pour avoir ce genre d'indice c'est de l'arnaque lol :p

[XENSECP]

Y'a aucune inversion Somme/Limite à faire :^)

Payer pour avoir ce genre d'indice c'est de l'arnaque lol :p

Moi ? Je n'ai pas dit que j'étais sûr ^^ La prépa est si loin (5 mois )
En revoyant le cours ce serait bon
Enfin bref donne nous ta démonstration ?

[Joker62]

Lol bref bref :)

Somme(k=0..N) a^k = (1-a^(N+1))/(1-a)

Lim(N->;)) Somme(k=0..N) ... = Lim(N->;)) (1-a^(N+1))/(1-a)

A gauche on a la série, à droite ça existe si et seulement si le module de a est strictement inférieur à 1

[JJa]

C'est ce qu'on appele une série géométrique :
(1-a)(1+a+a²+...+(a^n)) = (1+a+a²+...+(a^n)) -a(1+a+a²+...+(a^n))
=1+a+a²+...+(a^n)-a-a²-...-(a^n)-(a^(n+1))
qui se simplifie et il ne reste que :
(1-a)(1+a+a²+...+(a^n)) = 1-(a^(n+1))
donc
(1+a+a²+...+(a^n)) = [1-(a^(n+1))]/(1-a)
Si a>1 alors a^(n+1) est croissant et tend vers l'infini. La série n'est pas convergente.
Si -1Si a<-1 alors a^(n+1) tend alternativement vers + ou - l'infini. La série n'est pas convergente.