Démonstration limites

[OrsayMPI]

Bonjour !

Voici l'énoncé d'un petit test : Soient f et g deux fonctions définies sur un voisinage épointé V d'un point a. On suppose que f possède une limite à gauche de a et g à droite au même point. Que dire de l'assertion : La somme f + g possède une limite à droite en a ?

Cette assertion est fausse et j'essaie de le démontrer en repassant par la définition d'une limite à gauche et d'une limite à droite mais je bloque. Alors voilà le raisonnement :

f admet une limite à gauche de a alors ;);)>0, ;);)>0 tel que 0 < a - x ;) ;) ;) 0 < |f(x) - l| ;) ;)

g admet une limite à droite de a alors ;);)>0, ;);)'>0 tel que 0 < x - a ;) ;)' ;) 0 < |g(x) - l'| ;) ;)

On a 0 < a - x ;) ;) et 0 < x - a ;) ;)' , on obtient donc 0 > x - a et 0 < x - a , comment ça se fait ?

J'aimerais obtenir quelque chose de la forme :

;);)>0, 0 < |(f(x) + g(x)) - ( l + l')| ;) ;) , ;);)'' > 0 tel que : 0 < x - a < ;)''.

Je n'ai pas essayé en raisonnent par l'absurde car je préfère faire comme si je ne connaissais pas la réponse.

Merci de votre aide !

[Maxmau]

Bj
Si f admet une limite à droite en a et si g n'en admet pas, que peux tu dire de f+g ?

[OrsayMPI]

Qu'il n'admet pas de limite à droite en a ?

[Maxmau]

Qu'il n'admet pas de limite à droite en a ?

OK
or il existe des fonctions f ayant une limite à gauche en a et pas de limite à droite ( il est facile d'en exhiber une) et dans ce cas f+g n'a pas de limite à droite. Je te laisse conclure

[OrsayMPI]

Mais est - il possible de démontrer cela par les définitions ? J'aimerais m'entraîner à manipuler les définitions :)

[Maxmau]

Mais est - il possible de démontrer cela par les définitions ? J'aimerais m'entraîner à manipuler les définitions

Comment veux tu obtenir un résultat sur la limite à droite en a de f+g alors que tu ne sais rien de f à droite de a ? C'est impossible.