Démonstration th des bornes

[OrsayMPI]

Bonjour !

Alors voilà j'aimerais démontrer la proposition suivante :

Si f est une fonction continue sur [a,b], il existe et dans [a,b] tels que :

f() f(x) f() x de [a,b]

J'ai posé A = {f(x), x [a,b] } et s = sup(A).

Je veux montrer : s = sup(A) s A

En raisonnant par contraposée, celà revient à montrer : s A s sup(A)

Je veux donc supposer que s A et soit trouver un majorant de A plus petit que s, soit trouver un élément de A plus grand que s.

Pour celà j'ai pensé utiliser la caractérisation de la borne sup :



et le fait que la fonction soit continue ( en passant par la définition ).

Mais les idées s'arrêtent là, j'ai essayé de jongler entre les deux tout la matinée mais rien.

Help please Merci d'avance !

PS : Je sais qu'on peux démontrer cette proposition beaucoup plus facilement avec d'autres méthodes mais je tiens à utiliser celle là pour m'entraîner, le polycopié d'analyse l'utilisant beaucoup pour les démonstrations.

PS 2 : Désolé si la rédaction est un peu dégueulasse, c'est la première fois que j'utilise Latex.

[Ben314]

Salut,
Bon, déjà, il faut bien comprendre que le théorème que tu veut montrer, à savoir qu'une fonction continue sur un segment (i.e. un intervalle fermé borné) est bornée ET atteint ces bornes, c'est non seulement un résultat essentiel de l'analyse réelle, mais aussi que ça ne se démontrer pas en "claquant des doigts" (ou alors en admettant un autre résultat équivalent...)

Donc, ici, vu ce que tu as écrit, c'est déjà pas clair du tout au départ : tu pose A=..., certes, mais avant de "poser" s=sup(A), il faudrait songer à montrer que A est majorée (par contre, tu ne couperas effectivement pas au fait d'utiliser quelque part le fait que toute partie non vide et majorée de R admet une borne sup.)

[OrsayMPI]

Oui en effet tu as raison je suis allé un peu vite dans la démo.

En effet pour prouver l'existence de s j'utilise la propriété de la borne sup et en disant que f(a) A donc que A est non vide dans .

Donc du coup partir comme ça c'est trop compliqué ?

[OrsayMPI]

Oui en effet tu as raison je suis allé un peu vite dans la démo.

En effet pour prouver l'existence de s j'utilise la propriété de la borne sup et en disant que f(a) A donc que A est non vide dans .

Donc du coup partir comme ça c'est trop compliqué ?

Oups, j'ai oublié la majoration. En fait dans le cours il y a un autre théorème qui dit qu'une fonction continue sur un segment est bornée. je voulais dans un premier temps montrer que les bornes sont atteintes en utilisant le théorème, et ensuite le montrer en lui même. ( J'ai pas été très clair ni dans la démo, ni dans la question )

[Ben314]

A priori, j'ai bien l'impression que tu va avoir du mal à démontrer cette "contraposée" sans supposer que le résultat (i.e. ) est faux.
Et si tu suppose que le résultat est faux, ce n'est plus une preuve par contraposition que tu fait, mais une preuve par l'absurde et comme de démontrer par l'absurde que c'est exactement la même chose que de montrer par l'absurde que (dans les deux cas, tu suppose P vrai et Q faux), tu retourne à la case départ...

[OrsayMPI]

Du coup autant essayer de montrer par l'absurde que s = sup(A) s A ?

[Ben314]

Du coup autant essayer de montrer par l'absurde que s = sup(A) s A ?

Oui, mais en fait, la preuve qui me vient à l'esprit, elle montre directement l'implication, sans utiliser la négation de "" (par contre on montre en même temps que f est majorée ET que le sup est atteint)

Plus précisément, si on pose (éventuellement infini), alors, quasi par définition du sup, il existe une suite d'éléments de de limite (i.e. de limite infinie si ).
Sauf que, par définition, dire que est dans , ça veut dire que pour un certain de .

Jusque là, c'est un peu du blabla. Il reste la partie "clef" du résultat, c'est à dire de montrer que partant de la suite absolument quelconque de , on peut fabriquer une suite convergente vers un certain (et on en déduira que qui impliquera en particulier que est fini)

[OrsayMPI]

On pourrait utiliser le théorème de Bolzano - Weierstrass ?

Donc si j'ai bien compris ( je reprends seulement la fin de ton raisonnement ), avec :



avec une sous suite extraite de .

Par le théorème de Bolzano - Weierstrass, il existe une telle sous suite convergente dont la limite L est dans [a,b].

Du coup : par continuité de f en L.

C'est bien ça ?

[Ben314]

Oui, c'est ça : si on accepte d'utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass, ça devient assez évident vu que toute la difficulté est reportée sur ce fameux théorème.

[OrsayMPI]

C'est vrai. Je vais essayer de le démontrer alors.

Je pense commencer par montrer que de toute suite bornée on peut extraire une sous suite monotone, c'est un bon départ ?

[Ben314]

Je pense commencer par montrer que de toute suite bornée on peut extraire une sous suite monotone, c'est un bon départ ?

C'est une méthode qui marche trés bien, mais ce n'est pas du tout évident à trouver (le problème, c'est qu'au départ, on ne sait pas si on cherche une suite croissante ou décroissante...)

Une méthode à mon avis plus "naturelle" consiste à procéder par "dichotomie" : au départ, tout les termes de la suite sont dans [a,b] et on pose a0=a ; b0=b.
Aprés, le truc tout con, c'est que, si une infinité de termes de la suite (xn) sont dans un intervalle [an,bn] donné, alors en coupant l'intervalle en deux (au milieu) une (au moins) des deux moitiés va contenir une infinité de termes de la suite.

[OrsayMPI]

Je ne vois pas où tu veux en venir

[Ben314]

Soit une suite de réels contenue dans [a,b].

On pose et donc contient tout les termes de la suite.

On construit ensuite les suites et par récurrence :

On suppose que contient une infinité de termes de la suite et on prend (le milieu de l'intervalle).
Un (au moins) des deux intervalles et contient une infinité de termes de la suite .
Si c'est le premier, on pose et , sinon on pose et ,

Il est alors clair que :
- La suite est croissante et la suite est décroissante.
- On a donc les suites sont adjacentes et donc de même limite .
- Comme l'intervalle contient une infinité de termes de la suite , on peut (par récurrence) piocher dedans un terme tel que
- Via le théorème des gendarmes, la suite tend vers .

Par contre, ton idée d'extraire directement une suite monotone est... intéressante... : ça marche, mais le procédé d'extraction n'est pas façile à trouver...

[OrsayMPI]

Pourquoi tel que ?

Si on a une infinité de termes de dans [] on ne peut pas affirmer qu'il existe une application allant de telle que :



et conclure par le théorème des gendarmes que converge vers L ?

Pour montre que de toute suite bornée on peut extraire une sous suite monotone ( croissante ici en l'occurence ) je voulais utiliser la caractérisation de la borne sup :

Soit une suite bornée sur

Soit M = sup(()) fixé.

Soit = | M - |

M est la borne sup de () donc il existe m dans tel que ] M - /2 , M [

Conclusion : tel que M,

Il existe donc : telle que soit croissante.

Qu'est ce que tu en dis ?

[Doraki]

M est la borne sup de () donc il existe m dans tel que ] M - /2 , M [

Non ça ne marche pas si le sup est un maximum. Il y a des suites (par exemple xn = 1/n) dont tu ne peux pas extraire de sous-suite croissante, et des suites dont tu ne peux pas extraire de sous-suite décroissante.

C'est vrai qu'on peut toujours extraire une suite monotone, mais c'est plus compliqué à démontrer.