Démonstration avec des epsilon

[camille76400]

Bonjour à tous,
Je m'attelle en ce moment à faire des démonstrations de limite en utilisant la définition formelle avec des epsilon.
Cependant, dans plusieurs corrigés, je retrouve souvent une utilisation du epsilon qui me pose problème.
Par exemple, pour prouver que quand x tend vers a, avec a strictement positif, il est dit à la fin du corrigé qu'il faut au départ avoir choisi epsilon suffisamment petit pour que soit positif.
Or, à ce que j'avais compris, il faut que la démo soit valable pour n'importe quel epsilon postif, et là, on impose une restriction sur espilon... Je ne comprends pas trop...
Merci de votre aide

[zygomatique]

salut

en général e (epsilon) est choisi positif (strictement) et l'idée est de le faire tendre vers 0 donc on peut toujours se restreindre sur "la taille" de e pour que les expressions mathématiques existent ...

écrire que |sin x - sin y| < 10000 est vrai .. mais n'a guère d'intérêt ... et à un moment pour montrer la continuité de sin on écrira quelque chose du genre |sin x - sin y| < e et on fera tendre e vers 0 donc il sera plus petit que 2 (où l'égalité est toujours vraie) mais c'est le montrer aussi quand il plus petit que 1, que 0,0001, que 0,0000000000001, .....

montre la démonstration ...

[chan79]

salut
soit a>0 et >0

si , alors:

[camille76400]

Merci zygomatique. J'ai compris ce que tu m'as expliqué : puisque l'on va faire tendre espilon vers 0, il ne pose aucun problème d'imposer une restriction sur sa "petitesse". Si j'ai bien compris, on peut faire le parallèle avec la définition d'une limite égale à plus l'infini en un point y donné :
Pour tout M appartenant à R, il existe positif tel que, pour tout x appartenant à I,

Si j'ai bien compris, dans ce cas là, rien n'empêche d'imposer une restriction sur la "grandeur" de M, comme par exemple en supposant que M ou M.
Est-ce correct?
merci beaucoup

[zygomatique]

oui ... par exemple f peut très bien être au départ supérieur à 10000000 (et tendre vers plus l'infini en un certain x ...

alors on peut très bien choisir M = 1 ou 1000 mais ça n'apporte pas grand chose puisque l'important c'est que f dépasse M pour n'importe quelle valeur aussi grande que je veux de M