Démo

[sad13]

Bonsoir à tous, je voudrais montrer ce qui suit svp à propos de "l'unicité de la décomposition en facteurs premiers"

Soit n un entier strictement supérieur à 1 dont la décomposition en facteurs premiers est
n=p1^a1*p2^a2.......*pk^ak; où k est un entier supérieur ou égal à 1, p1,p2,......, pk sont des nombres premiers avec p1
Démontrer que cette décomposition est unique.

[Manny06]

Bonsoir à tous, je voudrais montrer ce qui suit svp à propos de "l'unicité de la décomposition en facteurs premiers"

Soit n un entier strictement supérieur à 1 dont la décomposition en facteurs premiers est
n=p1^a1*p2^a2.......*pk^ak; où k est un entier supérieur ou égal à 1, p1,p2,......, pk sont des nombres premiers avec p1<p2<......<pk et a1,a2,....,ak sont des entiers naturels non nuls.

Démontrer que cette décomposition est unique.

la demonstration se fait par l'absurde

[sad13]

merci

on suppose que p1^a1*...................*pk^ak= p'1^a'1*.......................*p'k^a'k.

Puis on sait que si un nombre premier pi divise un produit de facteurs premiers, alors pi est l'un de ces facteurs premiers


et me manque un petit "bout" de raisonnement et je devrais conclure que pi=p'i pour tout i dans {1,...,k}

Merci

[ksavier]

Supposons qu'il existe deux décompositions primales d'un entier naturel n. Alors il existe des nombres premiers et des entiers (qui peuvent être nul :id: pourquoi ?) tels que :
Soient

Montrons que (les autres se font de la même façon):

divise . D'après le théorème de Gauss on conclut que divise .

Donc il existe un entier k tel que


De même,
divise . Toujours d'après le théorème de Gauss on conclut que divise .

Donc il existe un entier k' tel que


Par produit de (1) par (2), on en déduit que .
Donc k=1 (par positivité).
On injecte dans (1) , on obtient : qui donne

[Manny06]

Supposons qu'il existe deux décompositions primales d'un entier naturel n. Alors il existe des nombres premiers et des entiers (qui peuvent être nul :id: pourquoi ?) tels que :
Soient

Montrons que (les autres se font de la même façon):

divise . D'après le théorème de Gauss on conclut que divise .

Donc il existe un entier k tel que


De même,
divise . Toujours d'après le théorème de Gauss on conclut que divise .

Donc il existe un entier k' tel que


Par produit de (1) par (2), on en déduit que .
Donc k=1 (par positivité).
On injecte dans (1) , on obtient : qui donne

Si n=p1*p^*.......*Pr=q1*q2*......*qs en supposant par ex r<=s et tout les pi et qi sont premiers

si p1 divise un produit de facteurs premiers alors il est egal à l'un des facteurs
on peut supposer p1=q1
on simplifie et on continue jusqu'àpr=qr si r<s
il reste 1=qr+1*......*qs impossible si les qi sont premiers donc r=s et pour touti pi=qi

[moslimjudge]

(p1 divise un produit de facteurs premiers alors il est egal à l'un des facteurs )
je pense que vous avez utilisé dans cette phrase la notion de la décomposition unique de facteurs premier
moi j'ai une autre proposition ( par absurde)
soit n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*.... a1,a2,..appartient a N
p1,p2,..des nombre premiers
aussi n=p1^b1*p2^b2*p3^b3... b1,b2,..appartient a N (ai<>bi)

danc p1^a1*p2^a2*..=p1^b1*p2^b2...
===> p1^(a1-b1)=p2^(b2-a2)*p3^(b3-a3)...

et dans ca on voit l'absurde car (ai<>bi)
(pi^(bi-ai) divise p1^(a1-b1) et p1 premier !!)

[sad13]

Merci puis pour conclure on dit qu'on procède de même de proche en proche

[Manny06]

(p1 divise un produit de facteurs premiers alors il est egal à l'un des facteurs )
je pense que vous avez utilisé dans cette phrase la notion de la décomposition unique de facteurs premier
moi j'ai une autre proposition ( par absurde)
soit n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*.... a1,a2,..appartient a N
p1,p2,..des nombre premiers
aussi n=p1^b1*p2^b2*p3^b3... b1,b2,..appartient a N (aibi)

danc p1^a1*p2^a2*..=p1^b1*p2^b2...
===> p1^(a1-b1)=p2^(b2-a2)*p3^(b3-a3)...

et dans ca on voit l'absurde car (aibi)
(pi^(bi-ai) divise p1^(a1-b1) et p1 premier !!)

je n'ai pas utilisé l'unicité mais le théorème de Gauss

[sad13]

Merci @ vs , je crois que la plus complète et "aboutissante" est celle de Many, non?

[ksavier]

Merci @ vs , je crois que la plus complète et "aboutissante" est celle de Many, non?

:ptdr: non, elle n'est ni plus complète ni plus aboutissante que les autres, mais c'est sans doute celle que tu comprends le mieux, tu as le droit de la choisir personne ne t'en voudra :zen: