Démo PGCD de polynomes

[NICO 97]

Bonjour,
je relie la démonstration de l'existence et de l'unicité du pgcd de 2 polynomes P1 et P2.
Et je lis comme une évidence qu'il existe un polynome unitaire non nul, diviseur de P1 et de P2, et de plus grand degré parmi les diviseurs communs de P1 et P2.
Je vois bien pourquoi il existe un poly unitaire non nul, diviseur de P1 et de P2 (1 marche)
Je vois bien pourquoi il existe un poly de plus grand degré parmi les diviseurs communs de P1 et de P2
Mais je ne vois pas comment on peut être sur qu'il existe un poly qui vérifie les 2 propriétés en même temps.

Si quelqu'un pouvait m'aider, d'avance, merci.

[mathelot]

Si quelqu'un pouvait m'aider, d'avance, merci.

pourquoi ne pas regarder sur un exemple ce que donne l'algorithme d'Euclide ?

[abcd22]

Bonjour,

Je vois bien pourquoi il existe un poly unitaire non nul, diviseur de P1 et de P2 (1 marche)
Je vois bien pourquoi il existe un poly de plus grand degré parmi les diviseurs communs de P1 et de P2
Mais je ne vois pas comment on peut être sur qu'il existe un poly qui vérifie les 2 propriétés en même temps.

Si on est sur un corps, et qu'on a un polynôme P de coefficient dominant a qui divise P1 et P2, P/a divise P1 et P2 et est unitaire.
Sur un anneau quelconque il n'y a pas forcément de PGCD.