"Demi" puissance cartésienne

[Lithi4x]

Bien le bonjour !
Je suis actuellement étudiant en école d'ingénieur, et je dois dans le cadre d'un projet me pencher sur une thèse de physicien (par ailleurs assez alambiquée). Ainsi, nous nous voyons confrontés à une notation que nous ne comprenons pas du tout. Après avoir fouillé la thèse, effectué moult recherches sur internet, et posé quelques questions posées à nos tuteurs, nous nous sommes tout de même retrouvés incapables de la déchiffrer.
Voilà le schmilblik : On travaille sur des espaces de Hilbert, et on a défini, si w est un ouvert de R^2, et C son contour, l'espace H^(3/2)(C)xH^(1/2)(C) (en bijection avec l'espace H^2(w) ).
C'est là que le bât blesse.
Je peux concevoir que l'on puisse noter H^1(D) un espace de Hilbert défini sur un domaine D à une dimension, mais alors quel sens donner à H^(1/2) et H^(3/2) ? En gros, existe-t-il une définition propre de "demi" puissance cartésienne ? Ou est-ce que la réponse est ailleurs dans une notation mathématique qui nous serait inconnue ?
Merci d'avance :we:

[SLA]

Bien le bonjour !
Je suis actuellement étudiant en école d'ingénieur, et je dois dans le cadre d'un projet me pencher sur une thèse de physicien (par ailleurs assez alambiquée). Ainsi, nous nous voyons confrontés à une notation que nous ne comprenons pas du tout. Après avoir fouillé la thèse, effectué moult recherches sur internet, et posé quelques questions posées à nos tuteurs, nous nous sommes tout de même retrouvés incapables de la déchiffrer.
Voilà le schmilblik : On travaille sur des espaces de Hilbert, et on a défini, si w est un ouvert de R^2, et C son contour, l'espace H^(3/2)(C)xH^(1/2)(C) (en bijection avec l'espace H^2(w) ).
C'est là que le bât blesse.
Je peux concevoir que l'on puisse noter H^1(D) un espace de Hilbert défini sur un domaine D à une dimension, mais alors quel sens donner à H^(1/2) et H^(3/2) ? En gros, existe-t-il une définition propre de "demi" puissance cartésienne ? Ou est-ce que la réponse est ailleurs dans une notation mathématique qui nous serait inconnue ?
Merci d'avance :we:

Salut,
As-tu un lien pour qu'on regarde ça?
J'ai bien l'impression qu'il s'agit d'espaces de Sobolev de puissance fractionnaire. Ce sont des espaces de distribution pour lesquelles on autorise des "demi-dérivée".
Tiens moi au courant.

[Lithi4x]

Salut,
As-tu un lien pour qu'on regarde ça?
J'ai bien l'impression qu'il s'agit d'espaces de Sobolev de puissance fractionnaire. Ce sont des espaces de distribution pour lesquelles on autorise des "demi-dérivée".
Tiens moi au courant.

Je vais de ce pas me renseigner sur les espaces de Sobolev ! Si tu veux, voilà la référence :
P 58 du PDF soit 46 de la thèse; equation (2.20) : https://tel.archives-ouvertes.fr/pastel-00002585/document/

[Lithi4x]

Après vérification, ça collerait en effet avec les espaces de Sobolev pour le côté Hermitien, et les notations fractionnaires. Reste à savoir l'intérêt de définir un tel espace... Je vais me creuser le crâne, merci en tout cas.

[SLA]

Après vérification, ça collerait en effet avec les espaces de Sobolev pour le côté Hermitien, et les notations fractionnaires. Reste à savoir l'intérêt de définir un tel espace... Je vais me creuser le crâne, merci en tout cas.

En fait en physique on a souvent envie de quantifier certaines énergies qui ressemblent a des trucs du type intégrale du carré d'une fonction ou de son gradient. Donc on travaille avec des fonctions disons C^1. (Ici c'est même C^2, tu dois faire des ondes je suppose). Malheureusement ces espaces ne sont pas complets (et pour les matheux c'est bof). Les Sobolev sont les complétés de ces espaces.
Après pourquoi des demi dérivée? Beh ce sont des théorèmes de traces qui le disent.
Il faudrait que je lise de plus près ce qu'il fait avec ça dans sa thèse.