Définition sous groupe discret

par **kagoune** » 17 Nov 2009, 14:47

pourriez vous me donner la définition d'un sous groupe discret? merci

par **Nightmare** » 17 Nov 2009, 15:53

Salut !

Un ensemble est dit discret si tout ses points sont isolés (au sens où n'importe quel point admet un voisinage qui ne rencontre pas l'ensemble). Ceci revient à dire que la topologie induite sur le sous-groupe est la topologie discrète.

Par exemple les ensembles de la forme kZ sont des sous-groupes discrets de R (on peut d'ailleurs montrer qu'un sous-groupes multiplicatif de R est soit discret soit dense dans R, c'est peut être ton exercice !)

par **kazeriahm** » 17 Nov 2009, 16:08

Un sous groupe ... additif !

par **Nightmare** » 17 Nov 2009, 16:11

Euh oui, additif, merci ! (Tu es souvent à corriger mes bourdes, je devrais t'engager pour être à mes côté pendant mes partiels, ça m'éviterait pas mal de points perdus pour ce genre d'étourderie :lol2: )

par **kazeriahm** » 17 Nov 2009, 16:13

Hehe

d'ailleurs quels sont les sous groupes multiplicatifs de R* ? existe-t-il une caracterisation similaire a celle des groupes additifs ?

par **Nightmare** » 17 Nov 2009, 16:24

Tiens je ne m'étais pas posé la question. A priori on peut les déduire de ceux de (R,+) vu que

par **kazeriahm** » 17 Nov 2009, 16:25

:hein: Je ne comprends pas ta notation R*2

par **Nightmare** » 17 Nov 2009, 16:26

Oui mon gras n'est pas passé, je note 2 le corps à deux éléments :happy3:

par **kazeriahm** » 17 Nov 2009, 16:33

Et tu les isomorphises (R* et Rx2) ?

par **Nightmare** » 17 Nov 2009, 16:34

C'est ça, R* est isomorphe à Z/2Z * R me semble-t-il !

par **kazeriahm** » 17 Nov 2009, 16:42

Oui il semble que ca marche avec ln et exp. Bon ok soit G un sous groupe multiplicatif de R+*, c'est l'image par exp d'un sous groupe F de (R,+). Si F est dense alors G est dense all right. Si F=aZ, alors... G={exp(a*n), n entier relatif} et ce type d'ensemble c'est quoi ? Point d'accumulation ? 0 au moins

par **Nightmare** » 17 Nov 2009, 16:48

Je ne vois pas quoi dire de plus sur ces ensembles. Tu es sûr que 0 est un point d'accumulation? Ca me semble difficile !

par **kagoune** » 17 Nov 2009, 16:52

merci! heu non ce n'est pas mon exercice... je l'ai déja fais cet exo en ne sachant pas que ça voulait dire que les sous groupes de R était soit denses soit discret, on m'avait juste demandé de démontrer que les sous groupes de R étaient soit denses soit de la forme aZ. en tout cas merci!

par **kazeriahm** » 17 Nov 2009, 16:54

Non mais en fait on est bete. Soit G un sous groupe multiplicatif de R+*. Soit G est dense dans R+ soit il existe a>0 tel que G={a^n, n entier relatif} Voila.

par **Nightmare** » 17 Nov 2009, 17:00

Oui ça c'est sûr puisque exp est un isomorphisme de R dans R+* mais je pensais qu'on s'intéressait à R* tout entier !

par **kagoune** » 17 Nov 2009, 17:33

mais tous les sous groupes dicrets de R sont donc de la forme aZ. est il possible de le démontrer?

par **kazeriahm** » 18 Nov 2009, 14:37

Si G est un sous grpe de R* alors G inter R+ est un sous groupe de R+* faut voir comment faire pour prendre en compte R^-

par **Nightmare** » 18 Nov 2009, 15:03

kagoune a écrit:mais tous les sous groupes dicrets de R sont donc de la forme aZ. est il possible de le démontrer?

Ce n'est pas vrai !

Par exemple Z+2Z est discret dans R mais n'est pas de la forme aZ !

par **kazeriahm** » 18 Nov 2009, 15:04

.... ben si c'est Z

par **Nightmare** » 18 Nov 2009, 15:08

kazeriahm a écrit:Si G est un sous grpe de R* alors G inter R+ est un sous groupe de R+* faut voir comment faire pour prendre en compte R^-

Re salut l'ami !

En fait je ne comprends pas, je croyais qu'on avait réglé le problème en disant que R* était isomorphe à 2xR !

Les sous-groupes de 2xR sont :

, soit

avec D sous-groupe dense dans R et évidemment il reste les cas triviaux

et

Reste à appliquer l'isomorphisme réciproque

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