Définition de la convergence d'une suite

[mehdi-128]

Bonjour,

La définition donnée dans mon livre est :
converge dans lorsqu'il existe tel que :


En gros, pour epsilon fixé et n supérieur à N on a :

Puis, il est dit : on prend remplacer le inférieur ou égal à epsilon par inférieur stricte.

J'ai pas trop compris pourquoi.

[LB2]

Comme souvent avec les quantificateurs , les propositions et sont équivalentes.

Il est clair que la deuxième proposition implique la première.
Montrons que la première implique la deuxième.

Supposons la première proposition.
Soit
D'après 1., soit tel que
Alors pour , on a d'où la deuxième implication.

Sur le même thème, on peut démontrer (et c'est souvent utile au lieu de "couper les epsilon" en 2 ou en 3 à l'avance, ce qui peut paraître artificiel et qui est fait dans certains ouvrages) que la proposition est équivalente aux deux précédentes. Le point fondamental étant bien sûr que soit indépendant de .

En pratique, si je majore une quantité par ou , ça suffira, pas besoin de prendre au départ ou pour retomber sur à la fin.

Cordialement

[mehdi-128]

Ah merci j'ai compris

J'avais jamais vu cette définition avec le M après ça me dérange pas forcément de prendre des epsilon/2 ou epsilon/3.

[mehdi-128]

Une petite question de logique :

Quand on écrit
Le N dépend de epsilon

Si on écrit
Le epsilon ne dépend pas de M ?

Il y a dépendance que quand on a le quantificateur suivi de ?

[Mimosa]

Oui. C'est juste du bon sens! Si tu dis "tous mes amis ont une petite copine", est-ce la même chose que "une fille est la copine de tous mes amis"?

[mehdi-128]

Oui. C'est juste du bon sens! Si tu dis "tous mes amis ont une petite copine", est-ce la même chose que "une fille est la copine de tous mes amis"?

Non mais j'ai pas trop compris le lien exact avec les 2 propositions :

[LB2]

Ce qui est différent c'est d'une part , où dépend de et où l'on devrait écrire pour être très clair, et d'autre part où ne dépend pas de (on dit que est une constante uniforme en , ou universelle)

[Ben314]

Essaye un peu d'utiliser ta cervelle nom de nom !!!

Si on écrit
Le epsilon ne dépend pas de M ?

Ta phrase elle dit : "Il existe un M tel que, pour tout epsilon on ait ..." donc elle ne parle pas de UN epsilon mais de TOUT les epsilon possible et c'est totalement dénué de sens de se demander comme tu le fait si LE epsilon dépend de quelque chose.
Si on te dit que "Il y a un pays où tout les chats sont gris", est ce que tu pense que ça a le moindre sens de demander ensuite "Est-ce que LE chat dépend du pays ?"

[mehdi-128]

Essaye un peu d'utiliser ta cervelle nom de nom !!!

Si on écrit
Le epsilon ne dépend pas de M ?

Ta phrase elle dit : "Il existe un M tel que, pour tout epsilon on ait ..." donc elle ne parle pas de UN epsilon mais de TOUT les epsilon possible et c'est totalement dénué de sens de se demander comme tu le fait si LE epsilon dépend de quelque chose.
Si on te dit que "Il y a un pays où tout les chats sont gris", est ce que tu pense que ça a le moindre sens de demander ensuite "Est-ce que LE chat dépend du pays ?"

Merci je comprends mieux avec votre exemple

[mehdi-128]

Sur le même thème, on peut démontrer (et c'est souvent utile au lieu de "couper les epsilon" en 2 ou en 3 à l'avance, ce qui peut paraître artificiel et qui est fait dans certains ouvrages) que la proposition est équivalente aux deux précédentes. Le point fondamental étant bien sûr que soit indépendant de .

En pratique, si je majore une quantité par ou , ça suffira, pas besoin de prendre au départ ou pour retomber sur à la fin.

Cordialement

Je reviens sur ce point important dans une démonstration, l'auteur utilise cette propriété car il dit pour montrer la propriété suivante ;

Si converge vers alors : converge vers

Dans la démo, on prendra quitte à changer la suite en son opposée.

A la fin de la démo on a :
Soit
Posons



Donc la suite converge vers

Je me dit suffit de prendre :

car et
Quand parcourt alors aussi.

Donc :



Que pensez vous de cette démarche ?

[mehdi-128]

Comme souvent avec les quantificateurs , les propositions et sont équivalentes.

Il est clair que la deuxième proposition implique la première.
Montrons que la première implique la deuxième.

Supposons la première proposition.
Soit
D'après 1., soit tel que
Alors pour , on a d'où la deuxième implication.

Y a pas un petit beug dans l'utilisation des variables epsilon ?

Si on dit :
Soit

Alors :
D'après 1 c'est pas plutôt tel que ?

Vous prenez un et après dans l'inégalité vous mettez ça me parait bizarre.

[LB2]

Y a pas un petit beug dans l'utilisation des variables epsilon ?

Si on dit :
Soit

Alors :
D'après 1 c'est pas plutôt tel que ?

Vous prenez un et après dans l'inégalité vous mettez ça me parait bizarre.

Justement, non il n'y a pas de bug, relis ce qu'a dit Ben314 c'est fondamental de bien comprendre le quantificateur . C'est un problème de logique.

On pourrait écrire effectivement "Soit tel que " mais ça ne nous intéresse pas.
On invoque donc cette propriété valable pour tout nombre réel strictement positif epsilon pour un certain bien choisi , ici

Ce n'est pas parce qu'on a fixé que l'on doit invoquer la propriété " tel que " avec .
Le premier est fixé, le deuxième (que j'ai remplacé par "machin") est une variable muette car elle est précédée du quantificateur .

Est-ce plus clair?

[mehdi-128]

Salut LB2 je viens de comprendre

Le epsilon que vous fixez au départ n'a rien à avoir avec celui qui est dans le c'est ce détail que j'avais pas saisi.

Merci.

[mehdi-128]

Je le rédigerais ainsi pour pas me mélanger les pinceaux.


Soit
Or : tel que
Prenons :
Alors pour , on a d'où la deuxième implication.

On a fixé au départ donc c'est vrai pour tout