Croissances comparées, dérivée n-ème

[Nightmare]

Bonsoir :happy3:

Voici un exercice amusant posé à l'X :

Soit de classe .

On suppose que pour tout :


Montrer que

Bon courage (il n'est pas difficile)

:happy3:

[Clise]

Bonsoir,

Je pense avoir eu une idée...

On a, par hypothèse pour une fonction


Comme f est , la dérivée de f existe et est . On applique la même hypothèse et on a


Et ainsi de suite par récurrence, on a avec qui existe et est , d'où


On a donc prouvé que


Alors, ça marche ?

[Nightmare]

Je ne vois pas pourquoi la dérivée de f vérifierait les hypothèses !

[Clise]

oui tu as raison, je me suis un peu précipité, toutes les fonctions n'ont pas cette propriété ... :marteau:

Mais à part la récurrence, je n'ai pas d'autres idées :mur:

Je vais continuer à chercher :we:

[Pafapafadidel]

J'ai trouvé qqchose mais je n'utilise pas toutes les hypothèses donc c'est surement faux...

Si une fonction tends vers 0 a l'infini, sa dérivée existe et est intégrable à l'infini, donc elle tend vers 0 à l'infini, on a donc .

Ainsi, pour tout , on a , or . A l'infini, on a , donc ; de plus on sait que , d'ou .
En répétant cette manip autant de fois qu'il est nécessaire, on obtient le résultat demandé. Le problème est que je n'utilise pas l'hypothese . Ou est l'erreur?

[Nightmare]

Si une fonction tends vers 0 a l'infini, sa dérivée existe et est intégrable à l'infini, donc elle tend vers 0 à l'infini, on a donc

Ca reste à prouver...

A l'infini, on a Ou est l'erreur?

Ce n'est pas vrai pour tout gamma !

[yos]

En général c'est faux. Prends un sinus amorti.

Pour l'exo, j'aurais envie de poser g(x)=f(1/x), g(0)=0... Mais j'ai pas regardé de très près.

[Nightmare]

Salut Yos :happy3:

As-tu avancé? Je n'ai pas abouti par ta méthode (qui n'est pas la même que la mienne) donc ça m'intéresserait de savoir si tu es arrivé à un résultat !

Personnellement j'y suis allé en utilisant un développement de Taylor (Laplace ou Lagrange)