Crochet de Lie et nilpotence (Mines MP)

[issoram]

Bonjour,

J'ai essayé de faire l'exercice n°4 de cette page d'exercices: http://ddmaths.free.fr/section417.html.
En résumé :
On étudie 2 endomorphismes sur un e-v. de dim finie qui vérifient
- Dans la première question on montre que est nilpotent.
- Dans la seconde, on suppose . On nous demande alors de montrer que les matrices de et ont de "jolies têtes" dans des bases appropriées de .

Je suis resté coincé sur la dernière question pour montrer qu'il existe une base de pour laquelle la matrice de est diagonale.
La correction ne m'aide pas vraiment (Beaucoup d'implications ne me semblent pas naturelles).
Si quelqu'un pouvait me reformuler cela différemment, ça serait très sympa.

Bonne nuit à tous.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Je ne suis pas allé voir le corrigé.
Mais la démarche qu'on peut suivre pour la deuxième question est assez claire.
D'abord, on sait de manière générale qu'un endomorphisme nilpotent d'un espace de dimension tel que vérifie et .
Ceci dit, ce qu'on désire (vu la tête des matrices), c'est une base de vecteurs propres pour de valeurs propres associées respectivement et telle que pour et .
On n'a pas trop le choix pour . Et après, on fabrique par récurrence . Pour on peut commencer par choisir un tel que (justifier qu'on peut le faire) ; on n'a pas forcément mais en utilisant on peut voir comment corriger pour obtenir le bon .

[issoram]

Bonsoir,

Merci vos explications qui m'ont éclairci les idées sur la démarche à adopter. Reste la dernière partie de votre réponse qui me pose problème: Je saisis ce que vous voulez dire, mais je ne vois pas comment le mettre en œuvre: comment "corriger le u" en utilisant la relation de l'énoncé en f et g?

Pour l'instant voici mon raisonnement:

- On veut . Si , convient.

- On a (d'après la relation de l'énoncé): ce qui donne
Ainsi ssev de dimension 1 dirigé par donc il existe

- Ensuite, pour vérifier la relation de récurrence pour
La famille vient naturellement. On vérifie que c'est une famille libre grâce à la nilpotence de f. Étant une famille libre de dimension c'est donc une base. Base dans laquelle, on a bien l'écriture voulue pour la matrice de f.

- Cependant dans cette base, la matrice de g n'est pas forcément diagonale comme vous le disiez. Je bloque ici: Comment "corriger" cette base afin de rendre la matrice de diagonale dans celle-ci?

[GaBuZoMeu]

Pour le début je rédigerais plutôt comme ceci :
est une droite vectorielle stable par puisque . Soit un vecteur non nul de , c'est donc un vecteur propre de ; notons la valeur propre associée.

Ensuite, comme je te le suggérais (suggestion que tu n'as pas suivie), on construit par récurrence. Je vais saucissonner la démarche ; désolé, ça ne te laissera pas beaucoup d'initiative.

Soit un entier vérifiant et supposons que l'on a déjà avec vecteur propre de de valeur propre associée pour , et pour .
1) Montrer qu'il existe tel que ; on choisit un tel .
2) Montrer que l'on peut trouver tel que soit vecteur propre de de valeur propre associée ; on pose alors .

[GaBuZoMeu]

coquille ligne 3 : lire au lieu de

[issoram]

Bonsoir,

Merci pour cette nouvelle réponse, mais désolé je sèche...
Je n'ai pas utilisé la récurrence proposée pour construire la base car je n'y arrivais pas.
J'ai essayé de suivre votre démarche mais sans succès.

1) Pour montrer qu'il existe cela revient à montrer que (d'après vos remarques préliminaires). Or par récurrence. Donc un tel u existe. Mais quel est-il? Faut-il le déterminer?

2) ??? J'ai essayé de jouer avec fg-gf=f sans succès

[GaBuZoMeu]

On choisit , tel que , point. Tu as vu qu'on peut en choisir un.

Un coup de pouce supplémentaire. On souhaiterait très fort que . On peut déjà commencer par voir ce qu'est ; c'est assez naturel de s'intéresser à cette bête-là vu qu'on y trouve du et qu'on connaît . Vas-y.

[issoram]

D'après la relation entre f et g :


Or par hypothèse de récurrence:
donc

Donc

Merci encore pour les indications, je réfléchis à la suite ... dès que j'ai un peu de temps.

[GaBuZoMeu]

J'attends.

[issoram]

Décidément, je ne vois pas le truc...

Je suis parti sur:
donc il existe

Si on cherche tel que alors il faut que
Tout ça se balade bien dans , donc , et sont dirigés par , On sent bien alors qu'à un coefficient près, un tel t existe.

Ce n'est pas très formel, mais je ne vois pas comment faire autrement . La base recherchée n'est pas explicitée...
Bref ma démo est incomplète...

[GaBuZoMeu]

Il faudrait peut-être te retrousser les manches et mettre les mains dans le cambouis, non ?
Tu vois qu'il existe un scalaire tel que .
Tu cherches un scalaire tel que soit vecteur propre pour de valeur propre associée , c.-à-d. tel que
.
Tu sais que . Franchement, je ne vois pas ce qui t'arrête.

[issoram]

Bonjour,

Oui c'est bien sur ça que j'étais parti, mais je n'ai pas vu la simplification . La peur du camboui peut-être
En reprenant vos notations:
On choisit tel que:

Soit

Merci!!

[GaBuZoMeu]

Ben voila, on y arrive !
Récapitule tout.

[issoram]

Soit E un espace vectoriel de dimension finie .
Soient et vérifiant
On suppose et

But : Démontrer qu'il existe une base de et , tels que, dans :

• La matrice de s'écrit comme un bloc de Jordan d'ordre
• La matrice de s'écrit comme une matrice diagonale avec

Remarques préliminaires :
Sous ces hypothèses on a:

• 
• et

Démonstration:
Soit une famille de vecteurs de
On veut : et ,
et : ,

Montrons par récurrence qu'une telle famille existe. Si tel est le cas, ce sera une famille de vecteurs propres de associés à valeurs propres distinctes et donc une base de

Initialisation:
Pour i =1. Soit
et d'après la relation , on a :
Ainsi et comme ,

Hérédité:
Soit un entier fixé. On suppose qu'il existe une famille vérifiant:
, et
Montrons qu'il existe tel que et

= 0 par hypothèse de récurrence et car
Ainsi .
Donc

Cependant, rien ne nous assure que
On cherche avec (on aura encore )
Cela revient à chercher tel que

On remarque que:
(d'après )
Or par hypothèse de récurrence:
Soit:
Ainsi donc

On veut que




Soit

On choisit donc :

[GaBuZoMeu]

Voila. T.on corrigé procédait peut-être autrement

[issoram]

Bonsoir,

Oui l'approche du corrigé était différente:
Pour démontrer la nilpotence de , la correction nous faisait remarquer que:
,

Ensuite cette relation était utilisée pour démontrer l'existence d'une base et d'un telles que les matrices de et dans cette base soient comme décrites plus haut.