Critere de cauchy

par **saifert** » 01 Juin 2007, 19:25

Bonsoir,

Qqn pourrai donner un exemple concret d'une serie qui verifie le critere de Cauchy :

tel que

on a

C'est que je sais pas comment l'appliquer..

Merci.

par **thedream01** » 01 Juin 2007, 19:28

tout comme pour les suites: toute série convergente vérifie le critère de Cauchy!
Pour l'application du critère de Cauchy, c'est exactement comme pour les suites: pour cela, il suffit de considérer la suite des sommes partielles...
ie: u(n)=v(1)+v(2)+...+v(n).

par **mehdi-128** » 01 Juin 2007, 19:41

Bonjour ,sur ce sujet comment montrer par le critère de Cauchy que la série des
(-1)^n*x^n converge ??

par **thedream01** » 01 Juin 2007, 19:44

bein converge où? pour x=1, elle diverge!!!
Sur ]-1,1[, tu calcules le rayon de convergence et tu vois que ça converge!!!

par **mehdi-128** » 01 Juin 2007, 19:58

Désolé je voulais dire ne converge pas uniformément sur [0,1[......

par **thedream01** » 01 Juin 2007, 20:16

je pose Un(x)=(-1)^n * x^n.
La suite de fonctions Un converge simplement vers 0.
On peut montrer que si la série de fonction Un converge uniformément sur [0,1[, alors la suite de fonction Un converge uniformément vers 0 sur [0,1[.
Or Sup||Un(x)-0||=Sup(x^n) sur [0,1[ = 1
D'où: pas de convergence uniforme sur [0,1[.

par **fahr451** » 01 Juin 2007, 20:22

une autre façon (plus générale quand la série diverge en 1 alors que le terme général en 1 tend vers 0 )

la convergence uniforme sur [0,1[ signifie exactement que la suite Sn vérifie le critère de cauchy uniforme sur [0,1[ id est

sup l Sn(x) -Sp(x) l -> 0 qd n,p -> +inf où le sup est sur [0,1[ or le sup sur [0,1[ est celui sur [0,1] par continuité de Sp et Sn

donc l Sn(1) -Sp(1) l ->0 n,p->+inf ce qui signifie que Sn(1) converge

ce qui n'est pas

par **thomasg** » 01 Juin 2007, 20:27

Bonsoir,

notons S(n) la série que tu souhaites étudier

||S(n+3)-S(n)||=1 pour tout entier n. (où || || désigne la norme infinie pour x dans ]-1;1[)

Donc le critère de Cauchy uniforme
Pour tout e il existe N tel que n,m>N entraine ||Sn-Sm||n'est pas vérifié.

La série n'est donc pas convergente uniformément sur ]-1;1[.
Par contre elle l'est pour tout fermé de cet intervalle.

En espérant avoir répondu à ta question sans raconter trop de bêtises.

A bientôt.

PS: désolé ma réponse arrive après la bataille mais dans mon hameau on est encore en bas débit.

par **mehdi-128** » 01 Juin 2007, 20:49

Ah ok merci.....

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