Critère de cauchy

par **hazaki** » 23 Oct 2010, 09:17

Bonjour,
j'ai un exo en td et je sais pas trop comment le faire.
Soit une suite (Un) n>=1, définie par un = (cos²1)/7 + (cos²2)/7²+ .... + (cos²n)/(7^n).
Je dois montrer que cette suite est convergente.
Donc j'essaye avec le critère de Cauchy.
Je pose donc p et q, p>=q et j'essaye de montrer que |up-uq|donc j'ai |up-uq| = (somme de k=p-q jusqu'à p) (cos²k)/(7^k).
Donc je sais pas si c'est comme ca que s'utilise le critère de cauchy et si c'est le cas, comment continuer.
Merci de votre aide

par **AlexisD** » 23 Oct 2010, 10:11

Salut,

C'est une bonne idée, il s'agit effectivement d'obtenir une majoration de la somme que tu obtiens (d'ailleurs, n'est ce pas plutot, la valeur absolue de la somme).
D'abord, il faut savoir que la v.a d'une somme est inférieur à la somme des v.a. (valeurs absolues)
Grâce à cela, tu majores par une somme connue...

par **hazaki** » 23 Oct 2010, 11:14

Ah ok, c'est fort ça,
donc on a |up-uq| majorée par |up|+|uq|, mais vu qu'on a rien sur la convergence de (Un), je vois pas en quoi ca nous aide de savoir que |up-uq| EST majorée par |up|+|uq|

par **AlexisD** » 23 Oct 2010, 11:47

Non, tu avais bien démarré:

Et la tu poursuis ta majoration à l'intérieur de la somme...

par **hazaki** » 23 Oct 2010, 12:04

Je comprends pas pourquoi on a |up-uq| est égale à la somme de (cos²k)/(7^k) allant de q+1 à p et non de p-q à p.

par **AlexisD** » 23 Oct 2010, 12:43

est la somme entre 1 et p

est la somme entre 1 et q
Si tu considères p>q, on peut voir

comme la somme entre

parce que:

Pour t'aider, voici une question subsidiaire:
Explicite la somme suivante:

en fonction de a
en déduire:

et la, tu peux résoudre ton exercice.

par **arnaud32** » 23 Oct 2010, 13:45

tu as a faire a une serie de cos²(n)/7^n
deja elle est croissante car les termes de la serie sont tous positifs
en plus cos²(n)=< 1 pout tout n
donc ta serie et majoree par la serie des (1/7)^n
qui est une serie geometrique de raison <1 donc convergente

par **AlexisD** » 23 Oct 2010, 13:58

On pouvait peut-être attendre un peu avant de lui balancer la solution...

par **hazaki** » 23 Oct 2010, 17:41

Ca, j'y avais pensé mais on m'a dit d'utiliser le critère de cauchy et c'est là ou je sais pas trop quoi faire.

par **hazaki** » 23 Oct 2010, 18:42

Ah ! ok c'est bon j'ai bien compris comment il fallait faire ! Merci

par **hazaki** » 23 Oct 2010, 19:11

par **AlexisD** » 24 Oct 2010, 08:46

AlexisD a écrit:Pour t'aider, voici une question subsidiaire:
Explicite la somme suivante:

en fonction de a
en déduire:

et la, tu peux résoudre ton exercice.

As-tu fait ce calcul d'abord ?
Tu dois exprimer Up-Uq en fonction d'une somme géométrique facile à calculer.

par **hazaki** » 24 Oct 2010, 09:50

J'ai up-uq = 2*(somme de k=1 à q) 1/(7^k) + (somme de k=q+1 à p) 1/(7^k)

Ta première somme est égale à (a-a^(n+1))/(1-n)
La deuxième (a^(q+1)-a^(p-q))/(1-n)

par **hazaki** » 24 Oct 2010, 10:04

Petite correction,
Ta première somme est égale à (a-a^(n+1))/(1-a)
La deuxième (a^(q+1)-a^(p-q))/(1-a)

par **AlexisD** » 24 Oct 2010, 10:50

Bon pour la première somme (sauf que ce n'est pas

mais

) mais petites erreurs dans la deuxième,
de plus, la deuxième somme est en fait égale à

Une fois que tu auras trouver ceci:
1) en déduire la limite
2) majorer la suite Un
3) conclure

par **hazaki** » 24 Oct 2010, 11:34

Ah oui, en effet je suis allé trop vite, je t'ai donné la majoration de |up|+|uq| et pas |up-uq|.
Donc up+uq <= 2*(somme de k=1 à q) 1/(7^k) + (somme de k=q+1 à p) 1/(7^k)
<= 2*((1/7-1/(7^q+1))/6/7) + ((1/7^q+1)-1/7^p-q)/6/7
Sauf que ceci tend pas vers 0 donc ca ne me mène à rien.

par **hazaki** » 24 Oct 2010, 11:45

J'ai oublié de répondre à ta première question : après calcul j'ai |up-uq| qui tend vers O.
Donc à partir de là, je peux pas dire qu'a partir d'un certain rang p>q>N |up-uq|

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