Covariance de combinaison de variables

[plikskin]

Bonjour !

J'ai deux variables aléatoires X, Y ~ N(0,1) et je dois trouver la covariance entre Z = X*cosh(X+Y) et Z' = Y*cosh(X+Y). J'imagine qu'il faut intégrer Z*f(z), Z'*f(z') et Z*Z'*f(z)*f(z') pour trouver leur espérance mais je ne sais pas comment trouver la fonction de distribution des mes nouvelles variables (j'imagine qu'elle doit encore être normale mais la variance change-t-elle ?).

Je vous remercie d'avance si vous arrivez à m'aiguiller. :)

[DamX]

Bonjour !

J'ai deux variables aléatoires X, Y ~ N(0,1) et je dois trouver la covariance entre Z = X*cosh(X+Y) et Z' = Y*cosh(X+Y). J'imagine qu'il faut intégrer Z*f(z), Z'*f(z') et Z*Z'*f(z)*f(z') pour trouver leur espérance mais je ne sais pas comment trouver la fonction de distribution des mes nouvelles variables (j'imagine qu'elle doit encore être normale mais la variance change-t-elle ?).

Je vous remercie d'avance si vous arrivez à m'aiguiller.

re-hello

bon je suppose que X et Y sont indépendantes même si tu ne l'as pas précisé.

Je ne sais pas si il y a une méthode "élégante" pour faire ça. En tout cas écrit tout simplement l'espérance de Z, puis celle de ZZ' pour avoir ensuite leur covariance. C'est juste du calcul mais ça se fait.

Pour Z, je te lance :

Je n'ai fait qu'écrire tout bêtement la définition de l'espérance de f(X,Y) lorsque X et Y sont indépendantes et suivent une loi normale centrée.

Ensuite, j'utiliserais le fait (je n'ai pas poussé le calcul au bout mais ça doit marcher) que ch(x) = (exp(x)+exp(-x))/2. De cette manière tu sépares l'addition, ça te fait deux intégrales doubles, tu peux alors sommer facilement l'intégrale en y, et il te reste des intégrales type x*exp(x^2/2 +/- x) que tu dois calculer. Et ça se fait bien en faisant un petit changement de variable x' = x+a (a bien choisi) pour éliminer le terme en "x" dans l'exponentielle et ne garder que le carré et ainsi retomber sur des intégrales connues.

Même chose pour E[ZZ'] encore un peu plus laborieux parce que le ch^2 va faire apparaître 3 exponentielles au lieu de deux mais la même méthode doit marcher.

Je te laisse avancer..

Damien

[plikskin]

J'ai essayé mais comme j'ai le cosh(x+y), je dois intégrer e^(y^2/2 +- y) et je ne sais pas du tout comment faire... :-/

[DamX]

J'ai essayé mais comme j'ai le cosh(x+y), je dois intégrer e^(y^2/2 +- y) et je ne sais pas du tout comment faire... :-/

Un changement de variable comme tu auras à faire pour x, remarque pour cela que
y^2/2 - y = 1/2 * (y-1)^2 - 1/2. Quel changement de variable ferais-tu ?

[plikskin]

u = (y-1)^2 j'imagine. Je vais essayer ! :)

[DamX]

u = (y-1)^2 j'imagine. Je vais essayer !

Hum je pensais plutôt à u=y-1 ça te fait retomber sur la densité de la loi normale dont tu connais l'intégrale sur R.

[plikskin]

Hum je pensais plutôt à u=y-1 ça te fait retomber sur la densité de la loi normale dont tu connais l'intégrale sur R.

Merci Damien t'assures ! ^^' Pourrais-tu, si tu as le temps, jeter un coup d'oeil à mon sujet "Densité jointe vs densité simple", des gens essaient de m'expliquer ce qu'il se passe mais je ne comprends rien. C'est terrible, j'adore les maths mais j'ai énormément de peine à appréhender de nouveaux concepts...

[plikskin]

Ok pour ce problème j'en suis au point ou je dois intégrer x*exp(-x^2/2 +/- x), devant l'intégrale j'ai [1/2]*[e^(1/2)]*[1/(2*pi)^(1/2)] qui multiplient et que je peux utiliser dans l'intégrale le cas échéant. Mais je ne vais pas pouvoir retrouver de densité de loi normale cette fois donc j'imagine qu'il y a un changement de variable comme tu m'avais dit au début. Par contre j'ai beau tourner ça dans tous les sens je ne trouve pas. :/

[DamX]

Ok pour ce problème j'en suis au point ou je dois intégrer x*exp(-x^2/2 +/- x), devant l'intégrale j'ai [1/2]*[e^(1/2)]*[1/(2*pi)^(1/2)] qui multiplient et que je peux utiliser dans l'intégrale le cas échéant. Mais je ne vais pas pouvoir retrouver de densité de loi normale cette fois donc j'imagine qu'il y a un changement de variable comme tu m'avais dit au début. Par contre j'ai beau tourner ça dans tous les sens je ne trouve pas. :/

Hello,

Effectue le meme changement de variable qu'avant ! Tu vas de retrouver avec du (x+C) devant l'exponentielle. (C une constante). Tu pourras donc séparer en deux intégrales, l'une sera à nouveau la loi normale, quand l'autre sera une intégrale que tu sais directement calculer (d'ailleurs tu peux la calculer ou seulement voir que c'est une fonction impaire que tu intègres...).

Je te laisse réfléchir. Lance toi dans le changement de variable ! Je sais que c'est laborieux en calculs et c'est pour ça que je me demande si n'y a pas une astuce qui court circuite un peu tout ça, mais en tout cas tu devrais arriver au bout avec cette méthode.

[plikskin]

J'y suis arrivé ! Une covariance de 2e^4 ! Ce qui est inquiétant c'est que des amis m'ont dit qu'il avaient trouvé 2e^2... Mais au moins j'ai réussi à aller jusqu'au bout, merci beaucoup Damien ! :)

[DamX]

J'y suis arrivé ! Une covariance de 2e^4 ! Ce qui est inquiétant c'est que des amis m'ont dit qu'il avaient trouvé 2e^2... Mais au moins j'ai réussi à aller jusqu'au bout, merci beaucoup Damien !

De rien ! Je n'ai pas fait le calcul en entier donc je ne peux pas départager compare avec eux pour trouver qui a bon, surement une petite erreur de calcul !