Cours bijectivité

par **y6227** » 24 Déc 2011, 00:44

Bonjour,
Voici une proposition de cours :

"Soit f : A --> B une application. Alors f est bijective si et seulement s'il existe une application g : B --> A vérifiant g o f = IdA et f o g = IdB.

Démonstration : ....

Remarquons que l'application g de l'énoncé est nécessairement unique si elle existe : on vérifie aussitôt que ce doit être alors l'application réciproque de f."

C'est en fait la dernière phrase qui me gène, "Remarquons que...", comment raisonne t-on pour "remarquer" que l'application g est unique ?

Merci d'avance

Cordialement

par **Le_chat** » 24 Déc 2011, 00:55

Le fait que gof=IdA détermine complétement g: Pour tout x de A, g(f(x))=x, et comme f est bijective, quand x parcourt A, f(x) parcourt B, donc g est entièrement déterminée.

par **barbu23** » 24 Déc 2011, 00:59

Je pense que

est nécessairement unique, parce que si on considère qu'il existe une autre bijection

tel que :

et

, alors, on a

, c'est à dire :

pour tout

. si on pose :

, alors :

pour tout

, car

est surjectif. Donc

.
Donc,

est unique.
:happy3:

par **y6227** » 24 Déc 2011, 02:03

barbu23 a écrit:Je pense que est nécessairement unique, parce que si on considère qu'il existe une autre bijection tel que : et , alors, on a , c'est à dire : pour tout . si on pose : , alors : pour tout , car est surjectif. Donc .
Donc, est unique.
:happy3:

Merci! Est-ce que dans ma démonstration j'aurais pu m'arrêter à

pour tout

. Donc

. Cela aurait-il été faux ? Cordialement

par **barbu23** » 24 Déc 2011, 04:32

Cela n'est pas faux, mais moins clair ( moins argumenté ) :happy3:

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