Complexes et bijectivité

[sue]

salut,

je bloque sur cet exo :

soit F une application de P-{A} P-{A} qui à tout point M(z) associe M'(z') t.q : et A(2i)

- Démontrer que F est bijective .
- Démontrer que l'axe imaginaire est globalement fixe par F .
- Démontrer que si alors : |z' - 2i| |z-2i| = 9 , puis en déduire l'image du cercle C , de centre A et de rayon r , par l'application F .

pourriez-vous m'aider svp ?

[maturin]

- F bijective : tu calcules la fonction G inverse de F (telle que FoG=Identité), ce qui revient à calculer z en fonction de z'.
- l'axe imaginaire globalement fixe par F : qqsoit a réel sauf 2, il existe b réel tq F(ai)=bi (là je sais pas trop ce que veut dire le globalement, j'imagine que c'est tout sauf 2)
- |z' - 2i| |z-2i| = 9 : suffit de faire le calcul, sachant que le produit des modules est égal au module du produit.
- si z apparient au cercle de centre 2i alors |z-2i|=r. Donc avec ta relation d'avant tu verras que z' appartiendra ausi à un cercle. Par contre il restera à prouver que z' décrit bien tout le cercle.

[sue]

salut,

merci à toi .. je vais regarder ça.
mais pour la 1ère question je crois qu'il faut d'abord démontrer que F est bijective puis déterminer F^(-1) n'est-ce pas ? d'ailleurs c'est la question qui vient aprés et j'ai pas de problème sur ce point .. mais comment d'abord on démontre que F est bijective ?

[maturin]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Bijection

tu verras sur ce site un propriété qui dit que f bijectivement ssi elle a une fonction inverse.

Si tu prends la définition de base il faut montrer que pour tout z' de p-{a} il existe un antécédant (donc z tq f(z)=z') et que cet antécédant est unique.
Si t'as la fonction inverse ça revient à la même chose, puisque cette fonction inverse te donne le z en fonction de z' de façon unique.

[c pi]

Bonsoir

1° Pour démontrer que F est bijective, il suffirait de montrer que tout de P-{A} a un antécédent unique. Dans l'expression donnée de en fonction de , tu peux isoler pour obtenir l'expression de en fonction de qui te permettra de conclure.

2° Pour démontrer que l'axe imaginaire est globalement fixe par F, tu calcules l'image d'un imaginaire pur, par exemple celle de et tu montres qu'elle est elle aussi un imaginaire pur.
De même tu montres que tout a un antécédent imaginaire pur (à l'aide de l'expression trouvée en 1°).

3° Pour démontrer que si alors : tu calcules en fonction de , puis tu le multiplies par . Tu constateras que ce produit est un réel dont le module est évident, et comme le produit des modules est égal au module du produit...

[sue]

wé merci c pi c'est ce que m'a dit maturin :we:

pour 1) je trouve donc
ie GoF= Idf donc F bijective

est-ce correct ?

[sue]

bonjour,

je bloque tj sur la dernière question , comment puis-je en déduire l'image du cercle C ?

est-ce le cercle de centre A et de rayon r' = 9/r ?

[maturin]

oui car tu dois trouver que |z-2i|=9/r donc tous les z sont a une distance 9/r du point 2i.
Donc tous les points image du cercle de rayon r sont sur le cercle de rayon 9/r.

Par contre je vois pas d'astuce pour montrer que tout le cercle de rayon 9/r est bien décrit, j'ai l'impression que l'énoncé est un peu léger sur ce point vu que la formule calculé précédement ne t'aide pas sur ce point.
Sinon si tu veux être sur que tout le cercle soit décrit il faut que tu calcule l'image de tous les points z=2i+r.exp(i a) avec a dans [0,2Pi] et tu dois trouver z'=2i+9/r.exp(i b) avec b qui doit varier entre 0 et 2Pi.

J'ai pas fait les calculs c'est un peu bourrin.
Sinon y a peut être une astuce que j'ai pas vu.

Sinon c'est vrai que j'ai oublié que tout l'axe imaginaire devait être décrit pour la question 2 comme l'a dit C PI.

[Quidam]

(là je sais pas trop ce que veut dire le globalement, j'imagine que c'est tout sauf 2)

Je n'ai rien à ajouter à ce que tu as dit, sinon répondre à ta question.

Globalement invariant (ou globalement fixe) s'oppose à "composé de points invariants".

Chaque point n'est pas invariant, mais l'image de la droite est la droite. C'est d'ailleurs exactement à cette question que tu as répondu !
Par exemple, dans une symétrie point par rapport à un point d'une droite, seul ce point est invariant, mais la droite est "globalement invariante".

Mais le mot globalement n'a pas de rapport avec l'exception du point A.