Exercice difficile sur la bijectivité de fonction

[lomdefer]

Voici l'énnoncer :

Soient f:X--->Y, g:Y--->X, h:Y--->X des applications.
a)
On suppose que gof = idX, fog = idY.
Montrez que f est bijective et que f-1(la reciproque) = g = h.
b)
On suppose seulement gof = idX; f est-elle bijective ?
c)
On suppose foh = idY; f est-elle bijective ?

Je n'arrive vraiment pa a commencer si quelqu'un pourrait m'éclairer sa serait vraiment cool...

A+

[tize]

commence par montrer que si gof = idX alors f est injective ...
puis que, si fog = idY alors f est surjective ...

[aviateurpilot]

a)
gof=IdX et fog=IdY
=> gof est injective et fog surjective
=> f et injective___ et f surjective
=> f bijective

soit x de X
=> (car f est injective)

[aviateurpilot]

b) contre exemple:
f: N => N
f(n)=n+1

g:N=> N
g(n)=n-1 si n>0
g(0)=0

on a gof=Id N
mais f n'ai pas bijective