Courbure de Gauss du demi-plan de Poincaré

[WhiteShadow]

Bonjour,

Je travail dans le demi-plan de Poincaré, qu'on appellera H.

Pour ceux qui ne connaissent pas:



muni de la métrique riemanienne hyperbolique, où pour et u, v dans le plan tangent, on a:

où est le produit scalaire usuel.



Ma question est la suivante, j'aimerais calculer la courbure de Gauss de cet espace. Je sais que la réponse est une constante, -1. Pourtant en la calculant avec les courbures principales en prenant comme paramétrisation la projection canonique (Je vois le demi-plan de Poincaré comme ), je trouve 0.

Y a-t-il une raison à cela, du genre qu'on ne peut pas calculer la courbure de cette manière? Ou bien y a-t-il une autre façon de calculer la courbure de Gauss?

Merci d'avance de votre aide!

[WhiteShadow]

Apparemment la géométrie n'est pas le dada de tout le monde! lol

Personne n'aurait même une petite idée?

[Doraki]

Ta paramétrisation ne respecte pas la métrique riemanienne dont tu parles juste avant, donc c'est normal que ça ne marche pas.

Y'a forcément un moyen de la calculer sans passer par une paramétrisation, mais juste avec la métrique ?

[WhiteShadow]

Merci de ta réponse Doraki.

En revanche, dans la définition de paramétrisation que j'ai sous les yeux, il n'est absolument pas question de métrique. Du coup, comment savoir si telle ou telle paramétrisation respecte la métrique?

Tu connais cet autre moyen qui te permet de ne pas utiliser de paramétrisation? Je n'en trouve pas sur le web.

Merci d'avance!

[WhiteShadow]

Up!

Désolé de vous embêter avec ça, mais c'est un des derniers points que je dois résoudre pour mon mémoire de fin d'étude, du coup... :mur: