Demi-plan de Poincaré

[mathelot]

Bonjour

Quelle est la longueur et l'allure d'une géodésique entre
les points et
dans le demi plan supérieur (y>0) pour la métrique

?

merci

[SlowBrain]

Ne s'agit-il pas du demi-plan de poincaré pour lequel les géodésiques sont les demi droites verticales et les arcs de cercles?
Je n'ai pas le temps de retrouver les calculs que je n'ai pas fait depuis un moment...

Edit : ben oui, c'est le titre du post... quel étourdi!!

ReEdit : avec mes souvenir plus clairs, ma métrique de PC est en 1/, non?

[mathelot]

ReEdit : avec mes souvenir plus clairs, ma métrique de PC est en 1/, non?

oui , merci, j'ai fait la correction.

[SlowBrain]

Salut!
Je ressors le topic. Après quelques gribouillage incertains dans le métro lors du peu de temps à disposition, il me semble que le 1/y initialement pour la métrique était correct et que je me suis fourvoyé avec mon 1/y^2. Motivation : j'ai écris les équations d'Euler-Lagrange pour minimiser un élément de longueur d'arc représenté par la fonction F(x,y,x',y')=()/y (sous-entendu x(t) etc...) et les équa-diff que j'obtiens admettent des fonctions (x,y)=(sin(t),cos(t)) comme solutions. Si en calculant jusqu'au bout tu trouves la même chose, alors le 1/y correspond bien à la métrique de Poincaré.

[Ben314]

Sauf erreur, il est souvent préférable dans ce type de problèmes (variétées riemaniennes) de commencer par chercher quel est le groupe des isométries lié à la métrique AVANT de chercher les géodésiques.
Dans le demi-plan de Pointcarré, on trouve relativement rapidement que les isométries positives sont les homographies de la forme avec (pour les négatives, il faut rajouter pour obtenir un sous groupe du groupe circulaire)
Ensuite on regarde comment ce groupe agit sur le demi plan pour montrer que toute géodésique est l'image de la demi droite des imaginaires purs.
La distance géodésique sur cette demi droite est évidente à calculer et, dans le cas général, on se ramène à cette demi droite par une isométrie.

P.S.1 : La métrique est bien donnée par que l'on peut à la rigueur écrire où est la métrique usuelle.

P.S.2 : Une autre façon de trouver la distance géodésique entre deux points, est simplement de paramétrer l'arc de cercle (centré sur l'axe réel) reliant ce deux points.
La distance s'exprime trés simplement en fonction des deux angles (au centre) entre l'axe réel et les deux points (le rayon ne rentre pas en ligne de compte car les homothéties centrées sur l'axe réel sont des isométries).
L'expression "directe" en fonction des coordonnées des deux points est assez complexe (et sans grand intérêt à mon sens)...