Courbure dans le plan et l'espace

[C.F]

bonjour!
je voulais savoir quelle était la différence entre la courbure d'une courbe dans le plan et dans l'espace.Peut 'on utiliser la même formule pour les calculer.
Cad,si T est la courbe paramétré par l'abscisse curviligne alors la courbure pour R² est K=(x''²+y"²)^1/2 est dans l'espace K=(x''²+y"²+z"²)^1/2
merci

[MacManus]

Bonjour

Eh bien je dirais que la formule n'est pas la même selon que l'on est dans le plan ou dans l'espace. En ce qui me concerne, dans le calcul de la courbure, j'utilise le déterminant dans R² et le produit vectoriel dans R^3.

[JJa]

L'interprétation géométrique est aisée:
En 2D., on considère le cercle osculateur à la courbe, au point (x,y). Le rayon de ce cercle est le rayon de courbure.
En 3D. on considère l'ellipsoïde osculateur à la surface, au point(x,y,z). Les deux cercles principaux de l'ellipsoïde donnent les deux rayons de courbure principaux.
L'équation du plan tangent est donné par le premier ordre du développement en série de la fonction dont la surface est la représentation géométrique.
L'équation de l'ellipsoïde est donné par le développement en série jusqu'au second ordre de la fonction dont la surface est la représentation géométrique.
(Bien entendu, ceci en dehors de cas particuliers éventuels où la surface osculatrice ne serait pas un ellipsoïde)