Courbe - surface

[MacManus]

Bonsoir,

voici un exercice provenant d'un examen sur les surfaces :

Soient U c R2 un domaine borné du plan et f : U ---> R une fonction de classe C1 .

Comparer l'aire de U et l'aire du graphe de f . En cas d'égalité, que dire de f ? Justifiez soigneusement votre réponse.


Quelqu'un pourrait-il me donner une piste car je ne vois pas comment aborder cet exercice. Merci beaucoup !

[Maxmau]

Bonsoir,

voici un exercice provenant d'un examen sur les surfaces :

Soient U c R2 un domaine borné du plan et f : U ---> R une fonction de classe C1 .

Comparer l'aire de U et l'aire du graphe de f . En cas d'égalité, que dire de f ? Justifiez soigneusement votre réponse.


Quelqu'un pourrait-il me donner une piste car je ne vois pas comment aborder cet exercice. Merci beaucoup !

Bj

Posons p = f’x , q =f’y les dérivées partielles
L’aire du graphe est S = Integ(U ; sqrt( 1 + p² + q²)dxdy )
L’aire de U est = Integ(U ; dxdy )
Il est clair que 1 <= sqrt( 1 + p² + q²) sur U

[MacManus]

Bonjour Maxmau, merci de m'avoir répondu !



tu dis bien que:


on a alors :
on a donc égalité entre les 2 aires ssi :
c'est à dire ssi
il faut alors avoir

car d'après l'inégalité que tu emploies :

La fonction f doit avoir ses dérivées partielles p et q nulles ?
Que peut-on déduire pour la fonction f elle-même?

Merci de ton aide en tout cas!

[Maxmau]

Bonjour Maxmau, merci de m'avoir répondu !



tu dis bien que:


on a alors :
on a donc égalité entre les 2 aires ssi :
c'est à dire ssi
il faut alors avoir

car d'après l'inégalité que tu emploies :

La fonction f doit avoir ses dérivées partielles p et q nulles ?
Que peut-on déduire pour la fonction f elle-même?

Merci de ton aide en tout cas!

Pour conclure que l'égalité des aires implique 1 +p²+q² = 1 il faut , je pense , invoquer la continuité.
pour la fin si p =0 cad si f'x = 0 cela signifie que f ne dépend pas de x.;;
je te laisse terminer

[MacManus]

Pour conclure que l'égalité des aires implique 1 +p²+q² = 1 il faut , je pense , invoquer la continuité.
pour la fin si p =0 cad si f'x = 0 cela signifie que f ne dépend pas de x.;;
je te laisse terminer

A - t -on f(x,y) = ??
Si f est inéaire on peut dire que
est-ce la bonne méthode pour invoquer la continuité dont tu parles pour avoir ??


supposons qu'on ait égalité entre ces 2 aires

ie : p = q = 0 (les dérivées partielles sont nulles, donc f ne dépend ni de x ni de y, donc ne dépend pas du paramétrage?

Merci !

[Maxmau]

A - t -on f(x,y) = ??
Si f est inéaire on peut dire que
est-ce la bonne méthode pour invoquer la continuité dont tu parles pour avoir ??


supposons qu'on ait égalité entre ces 2 aires

ie : p = q = 0 (les dérivées partielles sont nulles, donc f ne dépend ni de x ni de y, donc ne dépend pas du paramétrage?

Merci !

on a 1 <= sqrt(1+p²+q²)
S'il existe un point (a,b) où 1 < sqrt(1+p²+q²) (ineg stricte)
cette inégalité au sens strict sera vrai sur un voisinage de (a,b) à cause de la continuité. Et alors l'aire de U serait strictement plus petite que celle du graphe.Donc ....

[Maxmau]

[quote="Maxmau"]on a 1 = 0
Faisons l’hypothèse qu’il existe (a,b) tq (a,b) > 0 (strictement positif)
Puisque est continue, il existe un voisinage V de (a,b) admettant une aire et sur lequel > (a,b)/2.
On aura : Integ( U ; (x,y)dxdy ) >= (Aire de V) * (a,b)/2 > 0
On vient de montrer que si n’est pas identiquement nulle
alors Integ( U ; (x,y)dxdy ) > 0
Ce qui donne (en contraposant) : Si Integ( U ; (x,y)dxdy ) = 0 alors est identiquement nulle sur U (d’où : p=q=0 sur U)

[MacManus]

D'accord merci pour toutes tes précisions, c'est bien plus clair pour moi c'est certain.

Juste une chose : lorsque tu parles de "Aire(V)" tu veux dire la "mesure" du voisinage V ? c'est la même chose? Je dis ça car j'imagine un dessin.

Merci encore, j'ai bien compris sinon ton raisonnement et ta conclusion!

[Maxmau]

D'accord merci pour toutes tes précisions, c'est bien plus clair pour moi c'est certain.

Juste une chose : lorsque tu parles de "Aire(V)" tu veux dire la "mesure" du voisinage V ? c'est la même chose? Je dis ça car j'imagine un dessin.

Merci encore, j'ai bien compris sinon ton raisonnement et ta conclusion!

Ok
aire (V) = mesure