Courbe convexe

[flo22]

Bonjour,

On considère une courbe C normale et fermée, de période L.
On suppose de plus qu'elle est strictement convexe, et la définition donnée est la suivante :

C est strictement convexe, c'est à dire que pour tout réel , pour tout réel s non congru à modulo L, M(s) est dans un des demi-plans ouverts définis par la tangente à la courbe au point de paramètre .

Moi ce que je comprends, c'est juste que M(s) n'est pas sur la tangente en . C'est pas ça si ? Parce que j'ai lu d'autre définition de courbes convexes et j'ai pas vraiment compris ça...

[Zavonen]

Je pense que cette définition n'est pas bonne.
C'est une des définitions possibles d'une courbe 'convexe ou concave strictement'.
Voir:
fonctions convexes wiki

[flo22]

Tu penses que la définition que j'ai donnée n'est pas bonne ? Elle est pourtant dans mon énoncé :doh:

[Zavonen]

M(s) est dans un des demi-plans ouverts définis par la tangente à la courbe au point de paramètre s_0.

A remplacer selon moi par dans le demi-plan supérieur ouvert ......

[flo22]

En gros, que la courbe se situe sous sa tangente ?

[Zavonen]

En gros, que la courbe se situe sous sa tangente ?

Non, au dessus.
Extrait de Wikipedia (voir le lien).

Proposition — Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. * f est convexe si et seulement si sa courbe représentative est au-dessus de chacune de ses tangentes ;

[flo22]

Par exemple, un cercle ou une ellipse, sont des courbes convexes ?

[Zavonen]

Par exemple, un cercle ou une ellipse, sont des courbes convexes ?

Ici on parle de 'fonctions' convexes.
En gros une fonction est convexe si la partie du plan située au dessus de son graphe est convexe.
Or un cercle et une ellipse bien qu'étant deux figures à intérieur convexe ne sont ni l'une ni l'autre le graphe d'une fonction.

[Maks]

Par exemple, un cercle ou une ellipse, sont des courbes convexes ?

Non, comme le justifie très bien Zavonen, MAIS ce sont en revanche des parties convexes du plan, en ce sens que pour tous points et d'un cercle (par exemple), le segment est dans le cercle.

[flo22]

Une fonction convexe je comprends bien, sachant qu'on le voit en sup. Mais ici on me donne la définition (celle que j'ai citée en début de sujet) d'une courbe paramétrée strictement convexe, qui par ailleurs est fermée. Et c'est cette définition que je ne comprends pas.

[Oxypi]

La définition de la convexité est effectivement équivalente à celle donnée par Maks à ceci près : ici c'est le domaine du plan délimité par la courbe fermée qui est (strictement) convexe (à ceci près que le strictement signifie qu'il n'y a pas de portion de la courbe frontière qui soit un segment de droite).

L'intérieur de ce domaine est d'ailleurs l'intersection de tous les demi-plans définis ci-dessus (et une intersection quelconque de parties convexes est toujours convexe !)

L'équivalence entre être strictement convexe et être une intersection de demi-plans ouverts à d'ailleurs des chances non négligeables d'être vraie !

Une petite illustration : [CENTER][/CENTER]

[flo22]

Merci pour ton explication ! :we: