Correspondance Univoque, Biunivoque, Partout définie.

[stevando]

Bonjour à tous,

Je suis actuellement entrain de réviser un cours portant sur les graphes, les ensembles structurées, les isomorphisme,...
Aussi je voudrais vous poser une question car il y a quelques ambiguïtés dans mes notes.


Biunivoque :
Se dit d'une correspondance entre deux ensembles dans laquelle à UN élément du premier ensemble ne correspond qu'à un seul élément du second et réciproquement.

Exemple :

Soit
A le premier ensemble, B le second ensemble ;
* un élément quelconque appartenant à l'ensemble A ;
° un élément quelconque appartenant à l'ensemble B

A B

* °
* °
* °
°

Est-ce que cet exemple respecte la définition ? La réponse est NON.
Sachant qu'il y a un élément de B "°" à qui ne correspond aucun élément de A. C'est l'exemple que m'a donné l'un de mes professeurs, cependant il se pourrait que ce soit une erreur d'inattention ou de précipitation.




Univoque :
Se dit d'une correspondance entre deux ensembles dans laquelle à TOUT élément du premier ensemble ne correspond qu'au MAXIMUM un seul élément du second.

Exemple :

Soit
A le premier ensemble, B le second ensemble ;
* un élément quelconque appartenant à l'ensemble A ;
° un élément quelconque appartenant à l'ensemble B


A B

* -> °
** -> °
* °

** deux éléments distinct de l'ensemble A ayant une correspondance avec le même élément dans l'ensemble B


Merci de bien vouloir m'éclairer

[Luc]

Bonjour à tous,

Je suis actuellement entrain de réviser un cours portant sur les graphes, les ensembles structurées, les isomorphisme,...
Aussi je voudrais vous poser une question car il y a quelques ambiguïtés dans mes notes.


Biunivoque :
Se dit d'une correspondance entre deux ensembles dans laquelle à UN élément du premier ensemble ne correspond qu'à un seul élément du second et réciproquement.

Exemple :

Soit
A le premier ensemble, B le second ensemble ;
* un élément quelconque appartenant à l'ensemble A ;
° un élément quelconque appartenant à l'ensemble B

A B

* °
* °
* °
°

Est-ce que cet exemple respecte la définition ? La réponse est NON.
Sachant qu'il y a un élément de B "°" à qui ne correspond aucun élément de A. C'est l'exemple que m'a donné l'un de mes professeurs, cependant il se pourrait que ce soit une erreur d'inattention ou de précipitation.




Univoque :
Se dit d'une correspondance entre deux ensembles dans laquelle à TOUT élément du premier ensemble ne correspond qu'au MAXIMUM un seul élément du second.

Exemple :

Soit
A le premier ensemble, B le second ensemble ;
* un élément quelconque appartenant à l'ensemble A ;
° un élément quelconque appartenant à l'ensemble B


A B

* -> °
** -> °
* °

** deux éléments distinct de l'ensemble A ayant une correspondance avec le même élément dans l'ensemble B


Merci de bien vouloir m'éclairer

Bonjour stevando,

dans le vocabulaire mathématique "actuel", on parle de la notion de fonction (ou d'application) pour la correspondance univoque, et de la notion de bijection, ou fonction bijective, pour la correspondance biunivoque.
L'ensemble A s'interprète comme l'ensemble des antécédents, l'ensemble B celui des images.

Dans l'exemple donné par ton professeur, la correspondance n'est pas biunivoque. En revanche, elle est univoque. En langage actuel, on dit que la fonction représentée par cette correspondance (bien définie car la correspondance est univoque) n'est pas surjective : il existe un élément de B qui n'est pas atteint, il n'a pas d'antécédent.

En fait dans correspondance biunivoque il y a trois propriétés :

- est-ce qu'un élément de A correspond au maximum à un élément de B (c'est le caractère univoque, ou de fonction)
Alors il y a deux sortes d’éléments de A : ceux qui correspondent exactement à un élément de B - on dit qu'ils ont une image par la fonction - et ceux qui correspondent à aucun élément de B - on dit qu'il n'ont pas d'image par la fonction. Quitte à restreindre l'ensemble A, on peut toujours considérer que tout élément de A a exactement une image par la fonction : on dit que A est l'ensemble de définition de la fonction.

- est-ce que pour deux éléments distincts de A, correspondent deux éléments distincts de B?
C'est la propriété d'injectivité de la fonction. On peut aussi l'énoncer sous la forme suivante : un élément de B a au plus un antécédent. (exercice : montrer que ces deux énoncés de l'injectivité sont logiquement équivalents). La fonction du deuxième exemple que tu as dessiné est-elle injective?

- est-ce que tout élément de B est atteint par la fonction? Si oui, tout élément de B a exactement un antécédent : on dit que la fonction est bijective, la correspondance est biunivoque. Sinon, on est dans le cas du premier exemple : il existe des éléments de B qui ne sont pas atteint.

PS : je te conseille de lire un cours plus moderne sur le sujet, par exemple un cours de première année de classes préparatoires.

Luc

[stevando]

Bonjour stevando,

dans le vocabulaire mathématique "actuel", on parle de la notion de fonction (ou d'application) pour la correspondance univoque, et de la notion de bijection pour la correspondance biunivoque.
L'ensemble A s'interprète comme l'ensemble des antécédents, l'ensemble B celui des images.

Merci de m'avoir apporté ces précisions
C'est un peu plus claire pour moi

[Luc]

Merci de m'avoir apporté ces précisions
C'est un peu plus claire pour moi

J'ai édité ma réponse! N'hésite pas à prendre le temps de lire à tête reposée ^^.