Correction d'un exam

[dekl]

Bonjour,

j'ai raté mon exam de deuxième semestre et aimerai faire un corrigé, mais je ne voudrai pas faire d'erreur, et de plus si je l'ai raté c'est que je ne sais pas comment faire... Pouvez-vous m'aider ?

Dites moi si il y a des erreurs ou s'il existe des méthodes plus simples... :)

Exercice 1
On pose G = IR\{2} et on définit sur G la loi suivante :

quelque soit x,y dans G, x*y = (x - 2) (y-2)+2.

1. Montrer que (G,*) est un groupe commutatif. (Indication : l'élément neutre e est e = 3)

1/ Un groupe doit être associatif (x*y)*z = x*(y*z)
Or (x*y)*z = [((x-2)(y-2)+2)-2](y-2)+2
= ... (long calcule) = x*(y*z)

2/ doit avoir un élément neutre
Or cet élément neutre est donné (e=3)

3/ tout x doit avoir un symétrique tel que x*s = e

(x-2)(s-2)+2 = 3 <=> (x-2)(s-2)=1 <=> s-2 = 1/(y-2) <=> s = 1/(y-2) -2

il y a donc un symétrique s = [1/(y-2)-2]

(G,*) est donc un groupe

commutatif ?

x*y = y*x long calcul aussi...

[dekl]

2. Montrer que f: x -> x-2 est un isomorphisme de (G,*) sur (IR*,x).

Isomorphisme : f(a*b) = f(a)@f(b)

Je ne voix pas trop ce que je dois faire...

[chan79]

commutatif ?

x*y = y*x long calcul aussi...

x*y = (x - 2) (y-2)+2
y*x = (y - 2) (x - 2)+2
L'égalité est évidente, je pense
Sinon, s = [1/(x-2)+2]

[dekl]

x*y = (x - 2) (y-2)+2
y*x = (y - 2) (x - 2)+2
L'égalité est évidente, je pense
Sinon, s = [1/(x-2)+2]

En effet, j'étais très fatigué hier...

Pareil, pour montrer que f: x -> x-2 est un isomorphisme de (G,*) sur (IR*,x) :

f(a*b)= (a-2)(b-2)+2-2 = (a-2)(b-2) = f(a) x f(b)...

j'étais vraiment fatigué !

[Luc]

Bonjour dekl,

1. il faut d'abord vérifier que la loi * est interne, autrement dit que
Ensuite, vérifier x*3=x explicitement (et pas se contenter de ce que dit l'énoncé).
Ok pour l'associativité et la symétrie, mais il faut bien justifier que .
La commutativité est claire, il n'y a aucun calcul.

2. Justifie d'abord rapidement que (IR*,x) est bien un groupe. Pour vérifier que f est un isomorphisme, on vérifie que f est un morphisme (tu l'as fait) et que f est bijective (injective et surjective). Ce dernier point reste à faire.

Bon courage,
Luc