Corps des fractions

[zork]

Bonjour,

J'aimerai une précision sur le corps des fractions

1) Je prend
Pourquoi lorsqu'on montrer que est inclus dans il faut trouver un polynôme qui a pour racine ?

2) si j'ai Q(a,b) comment s'exprime les éléments de ce corps de fraction?
J'aurai dis qu'il était de la forme: P(a,b)/L(a,b) avec L non nul et P,L dans Q[a,b]
D'autre part, doit on obligatoire avoir uniquement du a et du b dans la fraction? ne peut il pas y avoir une fraction de ce type:




merci

[barbu23]

Bonjour, :happy3:
Pour :
... Parce que est un élément algébrique dans , et donc, son polynôme minimal est .
D'habitude, on considère un morphisme : définie par : . Donc, d'après le théorème de factorisation :
.
est corps, car l'idéal est maximal.
Donc : est un corps, d'où : . ( i.e : est égal à son corps de fractions ).

Pour :
Oui, Un élément de s'écrit : avec , et : pour tout .
est un élément de si et seulement si est un polynome de , et est un polynôme non nul de , donc la réponse est oui.
Cordialement. :happy3:

[alavacommejetepousse]

[quote="zork"]Bonjour,

J'aimerai une précision sur le corps des fractions

1) Je prend
Pourquoi lorsqu'on montrer que est inclus dans il faut trouver un polynôme qui a pour racine ?




Bonjour soit on est savant comme barbu soit on ne l'est pas comme moi.
est le plus petit sous corps de R contenant
comme 1 / = /2 l 'inverse de est dans
et le résultat

[barbu23]

est le plus petit sous corps de R contenant
comme 1 / = /2 l 'inverse de est dans
et le résultat

Oui, je préfère ta réponse mieux que la mienne. :happy3:
La tienne est plus pratique, que je recommande pour @zork, puisqu'il est encore débutant dans ce cours.
Cordialement. :happy3:

[Doraki]

Je vois pas en quoi montrer que sqrt(2) est inversible dans Q[sqrt(2)] montre que Q(sqrt(2)) = Q[sqrt(2)].

Pour montrer que Q[sqrt(2)] est un corps (et donc égal à Q(sqrt(2))),
on dit que Q[sqrt(2)] est un Q-ev de dimension 2.
on prend un élément non nul x de Q[sqrt(2)], et on regarde l'application linéaire µx : y -> xy, qui est un endomorphisme de Q[sqrt(2)].
Comme Q[sqrt(2)] est de dimension finie (2), et que fx est injective (parceque R est intègre et x est non nul), fx est donc surjective et donc on trouve un antécédent de 1, et donc x est inversible.

[barbu23]

Je vois pas en quoi montrer que sqrt(2) est inversible dans Q[sqrt(2)] montre que Q(sqrt(2)) = Q[sqrt(2)].

Pour montrer que Q[sqrt(2)] est un corps (et donc égal à Q(sqrt(2))),
on dit que Q[sqrt(2)] est un Q-ev de dimension 2.
on prend un élément non nul x de Q[sqrt(2)], et on regarde l'application linéaire µx : y -> xy, qui est un endomorphisme de Q[sqrt(2)].
Comme Q[sqrt(2)] est de dimension finie (2), et que fx est injective (parceque R est intègre et x est non nul), fx est donc surjective et donc on trouve un antécédent de 1, et donc x est inversible.

Ton est - elle une application : ou bien ?
Je crois que je loupe quelques choses :
On ne peut dire que est un endomorphisme surjective quant il est injective que si les espaces de base sont de dimension finie. Est ce que est un espace vectoriel de dimension finie ?

Edit : On ne peut dire que est un - espace vectoriel de dimension , que si on montre déjà que , or on ne l'a pas montré encore, il faut la montrer, après on l'utilise pour dire que est un endomorphisme surjective.

[leon1789]

Je vois pas en quoi montrer que sqrt(2) est inversible dans Q[sqrt(2)] montre que Q(sqrt(2)) = Q[sqrt(2)].

Pour montrer que Q[sqrt(2)] est un corps (et donc égal à Q(sqrt(2))),
on dit que Q[sqrt(2)] est un Q-ev de dimension 2.
on prend un élément non nul x de Q[sqrt(2)], et on regarde l'application linéaire µx : y -> xy, qui est un endomorphisme de Q[sqrt(2)].
Comme Q[sqrt(2)] est de dimension finie (2), et que fx est injective (parceque R est intègre et x est non nul), fx est donc surjective et donc on trouve un antécédent de 1, et donc x est inversible.

Autre possibilité, plus naïve, mais plus "constructive" : on prend un élément non nul de , disons avec , et on montre que son inverse (qui existe dans R) appartient à . Autrement dit, il faut trouver tel que , ce qui se fait facilement car