Convexité et point fixe

[neuneu]

Bonsoir j'ai un exercice dont certaines questions me bloquent si vous pouviez m'aider s'il vous plait.
1) j'aurais voulu savoir ce que je devais montrer pour montrer qu'une fonction g est strictement convexe sur un intervalle.
j'ai réussi à montrer que g" est positive ou nulle donc elle est convexe mais pour le strictement je ne sais pas ce que je dois faire.
( je ne sais pas si vous en avez besoin pour la suite mais ma fonction g c'est l'application de [0,1] dans [0,1] définie par g(z)= )

2)On suppose que g'(1)1 et pour z appartenant à [0,1] on pose h(z)=g(z)-z
On me demande de montrer qu'il existe z0 appartenant à à ]0,1[ tel que z appartenant à ]z0,1[, h(z)=0 sur [0,1]
je dois ensuite montrer que g admet exactement 2 points fixes 1 et s appartenant à ]0,1[ dans [0,1]

désolée c'est un peu long...
merci pour votre aide

[yos]

Bonsoir.
J'ai pas tout regardé mais peut-être que ceci t'aidera :
je dirais que g(1)=1 vu le contexte proba. Peut-être que g'(1) vaut lui aussi 1 (c'est l'espérance de la loi)? Auquel cas ta tangente est y=x et comme la courbe est au dessus, elle ne peut pas la couper deux fois (convexité stricte utile ici). D'où un seul point fixe.

[neuneu]

bonjour merci !
Oui d'accord pour g(1) = 1 ; mais par contre pour g'(1), dans un cas on considère que c'est <=1 et dans l'autre > 1

[yos]

Soit a=g'(1).
Pour x dans [0,1[ :
g(x)>a(x-1)+1 (convexité stricte).
g(x)>x-1+1
g(x)>x
Pas d'autre point fixe.

[neuneu]

merci
mais peux tu me dire que signifie exactement stricte convexité s'il te plait

[yos]

Tu prends la définition de la convexité et tu remplaces les "larges" par des "stricts".
est convexe mais pas strictement convexe.

[neuneu]

pour moi une fonction est convexe si sa dérivée seconde est positive
donc çà veut dire que que g" > 0 ?

[yos]

çà veut dire que que g" > 0 ?

C'est suffisant mais pas nécessaire.
Par exemple "g' strictement croissante" est aussi suffisant (et moins fort que g''>0) et toujours pas nécessaire!!
Ainsi x^4 est strictement convexe mais sa dérivée seconde est pas >0.

La définition de la convexité :

De la convexité stricte :

[neuneu]

je te remercie je vais regarder çà alors et je repasserai plus tard
merci !

[neuneu]

J'ai encore une question, c'est toujours dans mon exercice;
on me dit que P(X=n)=p(1-p)^(n-1)
et on me demande de calculer P(Y>n)
je ne sais pas comment faire
si vous pouviez m'aider s'il vous plait merci

[xyz1975]

salut,
Je suppose que vous voulez dire P(X>n) si les valeurs prises pas la variable aléatoire sont entières (c'est bien le cas sinon on pourra pas donner la valeur) à ce moment là
P(Y>n)=Somme [P(Y=k)] k varie entre n+1 et +infini. Il s'agit alors de remplacer P(Y=k) par p(1-p)^(k-1) série géométrique.

[neuneu]

merci pour votre aide j'ai compris !