F convexe...

[Mohamed]

coucou les amis..

j'ai passé ce matin un DS et j'ai eu une question difficile ds un exo

f:I->R une fonction
Mq f convexe équivalent à \ on :
pour le sens direct c simple à faire mais le 2em me semble tres compliqué....

[fahr451]

c 'est assez technique en effet et sauf erreur tu as besoin de f continue pour utiliser la densité de certains rationnels.

[Mohamed]

c 'est assez technique en effet et sauf erreur tu as besoin de f continue pour utiliser la densité de certains rationnels.

plus clair si possible

[fahr451]

tant que je ne sais pas que f est continue je ne sais pas faire. c'est clair?

[manelle]

tant que je ne sais pas que f est continue je ne sais pas faire. c'est clair?

Il me semble qu'une fonction convexe est dérivable à droite et à gauche en tout point intérieur à I donc continue sur l'intérieur de I , est-ce que cela peut vous aider?

[nuage]

Salut,

coucou les amis..

j'ai passé ce matin un DS et j'ai eu une question difficile ds un exo

f:I->R une fonction
Mq f convexe équivalent à \ on :
pour le sens direct c simple à faire mais le 2em me semble tres compliqué....

Pour moi c'est la définition d'une fonction convexe.
Qu'elle est la tienne ?

[yos]

"f convexe" signifie : pour tout t de [0,1], et tout(x,y) de I².
Ici on demande de prouver que t=1/2 est suffisant. Je sais pas si la continuité est indispensable. Peut-être qu'on peut s'en passer et mettre une hypothèse moins forte à la place.

[BQss]

"f convexe" signifie : pour tout t de [0,1], et tout(x,y) de I².
Ici on demande de prouver que t=1/2 est suffisant. Je sais pas si la continuité est indispensable. Peut-être qu'on peut s'en passer et mettre une hypothèse moins forte à la place.

Je ne vois pas en quoi t=1/2 change de l'hypothese t appartient a [0;1] du moment qu'on fait varier les x et les y cette definition me semble completement equivalente.


Il suffit de poser x=(a+t1) et y=b+t2 (en faisant varier les t1+t2 appartiennent à [0;1]) et avec les a et b des elemnts de I et on retombe sur la definition il me semble.

Qu'en penses tu Yos?

[BQss]

on pose (x+y)/2=[tx+x(1-t)+yt+y(1-t) ]/2 =[tx + y(1-t) ]/2 + [ x(1-t) + yt ]/2

si f est convexe, on a le terme de gauche et de droite qui sont inferieur au terme de gauche et de droite de l'inegalité de droite(endecomposant de la meme maniere)

et si on a ca pareillement alors c'est que [tx + y(1-t) ]/2 est inferieur au terme de gauche de l'inegalité de droite sur deux et donc en supprimant les divisé par deux , on en deduit la convexité.

* edit

[BQss]

Bon il me semble que c'est l'idée, je voudrais l'ecrire plus clairement, mais j'ai du taff :marteau: et j'ai pas le temps :!: .

Je vous laisse, a mon avis Yos en partant de ca tu y arrives...

[Gary O]

BQss, c'est un problème de quantificateurs je pense. D'abord tu fixes x et y, et ensuite tu considères tous les nombres entre x et y en faisant varier t. Là, une fois que x et y sont fixés tu ne peux prendre que le milieu de x et y. Pour la démo on a en effet besoin de f continue. On peut le faire comme le dit fahr par densité de certains réels (des rationnels de la forme p/2^n je crois), mais il y a plus court: par contraposée on suppose que f n'est pas convexe et on peut trouver a0. Puisque f s'annule en a et b et par continuité de f on peut trouver x1 dans [a,c[ et x2 dans ]c,b] tq f(x1)=f(x2)=0 et f>0 sur ]x1,x2[ mais alors f((x1+x2)/2)>0 alors que (f(x1)+f(x2))/2=0 cqfd. De plus cette démo ne marche pas seulement pour 1/2 mais pour tout t dans ]0,1[.

[fahr451]

cf boss

on ne peut considérer f(x+y) car il n ' y a aucune raison que x+y soit dans I

[BQss]

cf boss

on ne peut considérer f(x+y) car il n ' y a aucune raison que x+y soit dans I

J'ai oublié le divisé par deux dans l'expression. C'etait f((x+y)/2).

[fahr451]

voici la preuve avec f continue hypothèse cruciale

on montre pour x ,y fixés ds I par récurrence sur p entier que pour a entier
0=
f(a/2^p x + (1-a/2^p ) y) =< a/2^p f(x)+(1-a/2^p)f(y)

(je ne le fais pas)

puis pour alpha ds [0,1] fixé p fixé il existe a(p) entier tel que
a(p)/2^p =
la suite a(p)/2^p tend vers alpha qd p tend vers + inf
et on conclut par la CONTINITE de f

[BQss]

voici la preuve avec f continue hypothèse cruciale

on montre pour x ,y fixés ds I par récurrence sur p entier que pour a entier
0=<a=<2^p

f(a/2^p x + (1-a/2^p ) y) =< a/2^p f(x)+(1-a/2^p)f(y)

(je ne le fais pas)

puis pour alpha ds [0,1] fixé p fixé il existe a(p) entier tel que
a(p)/2^p =<alpha<(a(p)+1)/2^p

la suite a(p)/2^p tend vers alpha qd p tend vers + inf
et on conclut par la CONTINITE de f

Mon cher fahr, peux tu me montrer que c'est faux desormais sans l'hypothese de continuité, un contre exemple, je n'ai pas le temps de chercher et ce que tu proposeras sera tres bien j'en suis sur :zen: ...

[fahr451]

j'en sais rien et j'imagine que c'est pas simple de trouver un contre exemple;
tout ce que je sais c'est que l 'hypothèse de continuité m'est nécessaire pour ma preuve.

[BQss]

j'en sais rien et j'imagine que c'est pas simple de trouver un contre exemple;
tout ce que je sais c'est que l 'hypothèse de continuité m'est nécessaire pour ma preuve.

Ce que je crois c'est que c'est juste meme sans la continuité(il me semble que la question ne faisait pas mention de continuité d'ailleurs).

l'idée evidemment de la convexité c'est de dire que tout segment est situé au dessus du graphe.
Si on empeche de parcourir ce segment et qu'on fixe a 1/2, a mon sens cela ne change rien car x et y eux peuvent varier et assurer par la meme occasion que leur milieu x+y /2 a bien une image en dessous de leur propre moyenne en parcourant I il parcourt tout les points et tout les milieux..

Ainsi si x et y sont libres de parcourir I, il semble que le graphe est bien convexe, intuitivement ...

La continuité est assuré par x et y qui parcourent continument I, fixé t a 1/2 ou quelquonque autre nombre de [0;1] ne me semble pas etre un probleme.


Qu'en penses tu ?

[fahr451]

je ne sais pas faire sans l'hypothèse de continuité

Une fonction convexe se doit d 'être continue sur l'intérieur de I
je suis dubitatif sur le fait que la seule inégalité impliquerait la continuité de f sur l'intérieur de I .

[BQss]

je ne sais pas faire sans l'hypothèse de continuité

Une fonction convexe se doit d 'être continue sur l'intérieur de I
je suis dubitatif sur le fait que la seule inégalité impliquerait la continuité de f sur l'intérieur de I .

Apres mes exams je m'y colle en esperant ne pas rester collé.

[fahr451]

et si tu décolles fais nous signe.