Convergence uniforme d'une suite de fonctions

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Anonyme

convergence uniforme d'une suite de fonctions

par Anonyme » 29 Déc 2005, 18:02

Bonjour à tous,

Voilà, je travaillais sur un sujet de concours (epreuve de math 1 option M et P' 94) et je suis tombé sur une question sur laquelle je sèche complètement.

Soit a un réel strictement compris entre 0 et 1, 0Un(y)=int(1/n,n) de (x^(a-1))/(1+x*exp(iy)) (désolé, je sais que c'est pas très lisible...)

On demande de montrer que la suite de fonctions (Un) converge uniformément vers une fonction f sur I=]-pi,pi[ ( qui est bien sûr égale à l'intégrale de la même expression mais sur l'intervalle [0,+infini[ ).
J'ai essayé plusieurs méthodes, i.e montrer que le sup de |Un-f| tendait vers 0 lorsque n->+infini, essayer de revenir à la définition de la convergence uniforme avec les epsilons, voir si le critère de Cauchy était vérifié... mais en vain !

Vous auriez une indication svp ? Merci.



yos
Membre Transcendant
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Enregistré le: 10 Nov 2005, 21:20

par yos » 29 Déc 2005, 19:43

Bonsoir.

Je pense qu'il faut découper l'intégrale en deux : sur [1/n,1/2] et sur [1/2,n], car les problèmes sont différents aux deux bornes. (Pourquoi 1/2 et pas 1? Voir la suite)

Les deux intégrales obtenues relèvent d'une comparaison (uniforme en y) avec une Riemann.

Par exemple pour la première :
|1+xe^(iy)|>=| |1| - |xe^(iy)| | =|1-x|>=1/2,
donc l'intégrande est majorée par 2x^(a-1) et c'est bon car -1

 

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