Convergence uniforme d'une suite de fonctions

[Wenneguen]

Bonjour,

je suis nouveau dans le domaine des suites de fonctions, et alors que je m'essayais à un exercice basique sur le sujet, quelques questions ont surgi dans mon esprit.

Voilà le dit exercice :

On considère la suite de fonctions où . Étudier la converge simple de , puis la convergence uniforme sur , . Y a-t-il convergence uniforme sur ?

Je montre que sur , converge simplement vers la fonction nulle, puis que pour tout a>0, converge uniformément vers la fonction nulle sur ( je montre cette convergence uniforme en montrant que le sup sur cet intervalle tend vers 0 ). Jusque là tout va bien.
Par contre pour la dernière question, j'utilise le fait que ne tend pas vers 0, ce qui implique que ne converge pas uniformément vers la fonction nulle.

Ma question est : qu'est-ce qu'y m'empêchait d'utiliser ce dernier argument pour la deuxième question ? En effet on trouverait la réponse opposée.


Merci :we:

[cuati]

Bonjour,

je suis nouveau dans le domaine des suites de fonctions, et alors que je m'essayais à un exercice basique sur le sujet, quelques questions ont surgi dans mon esprit.

Voilà le dit exercice :

On considère la suite de fonctions où . Étudier la converge simple de , puis la convergence uniforme sur , . Y a-t-il convergence uniforme sur ?

Je montre que sur , converge simplement vers la fonction nulle, puis que pour tout a>0, converge uniformément vers la fonction nulle sur ( je montre cette convergence uniforme en montrant que le sup sur cet intervalle tend vers 0 ). Jusque là tout va bien.
Par contre pour la dernière question, j'utilise le fait que ne tend pas vers 0, ce qui implique que ne converge pas uniformément vers la fonction nulle.

Ma question est : qu'est-ce qu'y m'empêchait d'utiliser ce dernier argument pour la deuxième question ? En effet on trouverait la réponse opposée.


Merci :we:

Et puis surtout n'appartient pas à à partir d'un certain rang...

[Wenneguen]

D'accord je vois, merci :)