Convergence uniforme d'une suite de suites

[mmestre]

Bonjour,

Je cherche à montrer que l'espace métrique des suites bornées muni de la distance de la convergence uniforme est complet.

Je bloque sur la question suivante : comment puis-je démontrer qu'une suite de suites (réelles), qui converge, simplement vers une suite converge également uniformément vers cette dernière ?

Avec des notations, cela donne :
Je considère l'espace métrique des suites réelles bornées avec la distance définie par
(pour tous , ce sont donc deux suites réelles bornées).

Soit une suite de Cauchy d'éléments de ; c'est donc une suite de suites réelles, que je note (par analogie avec les suites de fonctions) .

Comme est de Cauchy dans avec la distance d, on a (soit ) ??

En d'autres termes, comment prouver que la suite s est la limite au sens de la convergence uniforme de la suite de suites c ?

Merci d'avance pour vos conseils.

[Monsieur23]

Aloha,

Déjà, tu dois montrer que ta suite s est bornée. Pour cela essaye de majorer .

Ensuite, dans ta définition de suite de Cauchy, tu fais tendre q vers l'infini pour conclure

23

[mmestre]

Bonjour,

Merci pour votre réponse.
La majoration de est maintenant OK :


Il est facile de majorer le terme de droite car la suite est bornée par définition (de valeur absolue disons) et est aussi petit que l'on veut car tend vers : .

On a donc pour tout : .


Par contre, je ne comprends pas exactement ce que vous voulez dire par "faire tendre q vers l'infini dans la définition de la suite de Cauchy".
Comment peut-on prendre la limite de avant d'avoir (justement) démontré qu'elle tendait vers quelque chose (au sens de la distance de la convergence uniforme), s en l'occurence ?

[Ben314]

Salut,
Ce que tu as écrit ne va pas du tout :

tend vers : :

et de faire tendre q vers l'infini (pour n fixé)

[arnaud32]

.
tu fixes p et tu fais tendre q vers +oo

[mmestre]

Ahh, attendez, je pense que j'ai compris.

Dans la définition de la suite de Cauchy, j'ai .

À l'intérieur de ce sup, je fais tendre q vers l'infini (j'ai le droit car je sais que tend vers , la convergence ponctuelle que j'ai établi dans ce qui précède) et j'obtiens :



Ce qui montre bien la convergence uniforme de vers s.

Ça vous semble bon ?

[mmestre]

@Ben314, arnaud32 :

Vous avez étés plus rapides.
Je comprends ce que vous voulez dire pour l'impossibilité de démontrer le fait que est bornée en la majorant par un terme qui dépend de n.

Si je comprends bien, il faut :
1) déduire du "sup" le fait que l'expression dans le sup est vraie pour tout n, de quoi on obtient la convergence simple vers s.
2) établir la convergence uniforme à partir de cela comme je l'ai indiqué dans mon post précédent.

C'est OK maintenant ?

[mmestre]

@Ben314 : je vois, effectivement un majorant qui dépend de n ne peut être utilisé pour montrer que la suite est bornée.
Dans ce cas, est-ce possible d'utiliser la définition de la convergence uniforme de pour obtenir un qui ne dépend pas de n et donc un majorant de qui ne dépend pas de n non plus ?

[Ben314]

@Ben314 : je vois, effectivement un majorant qui dépend de n ne peut être utilisé pour montrer que la suite est bornée.
Dans ce cas, est-ce possible d'utiliser la définition de la convergence uniforme de pour obtenir un qui ne dépend pas de n et donc un majorant de qui ne dépend pas de n non plus ?

Oui, c'est bien ça.

[ffpower]

Oui. A partir de ta dernière inégalité, tu peux assez aisément obtenir la bornitude..

[mmestre]

Merci à tous pour votre aide et vos réponses détaillées.

Juste une petite confirmation : la question suivante demande de montrer que , le sous-espace vectoriel de des suites qui convergent vers 0, est fermé dans .
Si j'ai bien compris, je peux appliquer la même méthode:

Je prends une suite de points de , qui converge donc dans vers une suite .
Pour montrer que est un élément de (et donc que ), il suffit de montrer que tend vers 0 en le majorant:

.
À droite, on majore le premier terme avec la convergence uniforme:

...

...ce qui montre bien que tend vers 0, et est donc un élément de (et par suite ).

Cela vous semble-t-il tenir debout ?

[Doraki]

et comme p n'apparaît pas explicitement dans l'inégalité, je peux compacter (ai-je le droit ??)

non.
Ton N;) après compactification, c'est N(p,;)) avec quel p ?

[mmestre]

Euh..

avec n'importe quel p supérieur à (il en existe autant qu'on veut car existe pour toute valeur de epsilon).
?

[Ben314]

C'est bien ça et il faut que ce soit clair dans ta rédaction.
Aprés avoir écrit que

Il faut que tu écrive en toute lettre que tu choisi un (par exemple... ) puis que, pour ce là, on a .... de façon à ce que ton final ne dépende que de .

[mmestre]

Merci pour cette explication, je crois que je comprends.
Alors le N dépend ensuite uniquement de epsilon (p dépendant lui-même indirectement de epsilon)..

[Ben314]

Ben oui : en fait des tu n'en a plus :
dans toute la fin de la rédaction, ton , tu le remplace par (ou par ...)

[mmestre]

Oui je vois :)
Merci !