Convergence uniforme d'une suite de fonctions bornées

[Guigui1Pierre]

Bonjour,

E et F sont des ev normés sur IK de dimensions finies
A une partie de E
(f[n])n une suite de fonctions bornées de A dans IK
(f[n])n converge uniformément vers une fonction f.

Il paraît que, dans ce cas, f est bornée.
Pour le démontrer, on remarque que pour tout x de A et pour tout n de IN:
|f[n](x)| <ou= ||f-f[n]||oo + ||f[n]||oo
Je sais majorer le terme de gauche de la somme ci-dessus.
Mais le terme ||f[n]||oo , je ne vois pas comment être sûr qu'il est majoré pour tout n de IN.

[Guigui1Pierre]

J'ai trouvé la démo. En fait, mon bouquin Hachette MP-MP* 2010 a mal présenté les choses et j'ai cherché des heures pour rien.

Pour prouver que f est bornée, il suffit de montrer que la suite f[n] vérifie le critère de Cauchy avec la norme de convergence uniforme et que l'ev des fonctions bornées de A dans IK est un espace de Banach.

[Ben314]

Pour prouver que f est bornée, il suffit de montrer que la suite f[n] vérifie le critère de Cauchy avec la norme de convergence uniforme et que l'ev des fonctions bornées de A dans IK est un espace de Banach.

Ben oui, il "suffit" effectivement de montrer ça.
Sauf que j'aimerais bien savoir comment tu procède pour démontrer que l'e.v. des fonctions bornées de A->K est complet sans commencer par démontrer le résultat de ton 1er post.
Perso., c'est ce que j'aurais tendance à appeler "du verbiage", c'est à dire reformuler exactement la même problématique que dans le 1er post, mais en utilisant le plus possible de termes compliqués pour "noyer le poisson".

Bref, si on revient à la question telle que tu la pose dans ton 1er post, ben le résultat est passablement évident : Si fn CVU vers f ça signifie (par définition) que ||fn-f||oo tend vers 0 et ça implique qu'il existe au moins un entier n tel que ||fn-f||oo <1 (et c'est même vrai pour tout les entiers n plus grands qu'un certain No).
Et, pour cet entier n là, tu écrit que ||f||oo <= ||fn||oo + ||fn-f||oo < +oo vu que fn est bornée et que ||fn-f||oo <1.

[tournesol]

Guigui1Pierre : à quoi te sert l'evn F ?

[Guigui1Pierre]

Ah oui désolé Tournesol, F c'est IK en fait...

Pour démontrer que B(A,IK) (les fonctions bornées de A dans IK) est complet sans utiliser le résultat du 1er post:
Soit (f[n]) une suite de Cauchy de B(A,IK). On écrit la définition d'une suite de Cauchy.
Alors pour tout x de A, (f[n](x)) est une suite de Cauchy de IK.
IK est complet donc (f[n](x)) converge vers un nbre qu'on appellera f(x).
On construit ainsi une fct f de A dans IK.
On écrit la définition d'une suite de Cauchy avec l'inégalité |f[n+p](x) - f[n](x)|<epsilon
On fait tendre p vers +oo
La continuité de la fct de IK dans IK "y donne |y|" permet d'écrire:
pour tout x de A: |f[n](x) - f(x)|<epsilon
donc (f[n]) converge avec || ||oo
donc B(A,IK) muni de || ||oo est complet et on l'a montré sans savoir que f est bornée.

Je suis d'accord Ben314 qu'on peut se douter que f est bornée. Mais je n'arrive (perso) à le montrer qu'en passant par ce que j'ai mis dans le 2eme post. Mais peut-être que je passe à côté d'un truc évident.

[Guigui1Pierre]

Ah oui, epsilon = 1 et on peut majorer ||f||oo.
C'était trop beau (simple) pour que j'y crois.
Merci

[Ben314]

... et on l'a montré sans savoir que f est bornée.

Ben évidement que non : tu as rien démontré du tout.
Pour montrer que B(A,IK) est complet il faut montrer que toute suite de Cauchy d'éléments de B(A,IK) converge vers un un élément de B(A,IK) donc montrer que ta fameuse fonction limite f est dans B(A,IK) c'est à dire qu'elle est bornée.

Là, ce que tu fait c'est très exactement la même chose que si tu "démontrait" que l'ensemble Q des rationnels (muni de la valeur absolue) est complet vu que toute suite de Cauchy de rationnels est convergente.
Il est parfaitement vrai qu'une suite de Cauchy de rationnels est systématiquement convergente vers un réel (car l'ensemble R des réels est complet), mais comme la limite n'est en général pas un rationnel, c'est que Q n'est pas complet.

[tournesol]

la démo de Ben314 18h32 , s'applique egalement a F , et peu importe si la dim est finie ou pas .
Elle s'applique en fait à E ensemble qcq et à F espace métrique .

[LB2]

Il est parfaitement vrai qu'une suite de Cauchy de rationnels est systématiquement convergente vers un réel (car l'ensemble R des réels est complet),

C'est même une des constructions possibles de l'ensemble R