Convergence uniforme d'une série

[SuperPoule]

Bonjour,
Je suis en train de lire un corrigé sur le développement asymptotique de la fonction en . L'auteur procède comme suit, avec :

et, par encadrement de l'intégrale : .
Ensuite l'auteur prend pour justifier que le reste de la série converge uniformément vers 0, ce qui lui permet de prouver la convergence uniforme de la série .
Or voici ma question : pourquoi prendre ? N'a-t-on pas :
pour tout ?

[SuperPoule]

Pour information, il s'agit du document suivant question 7.(d) : https://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=pmi:ds2_-_partie_ccp_autour_de_la_fonction_zeta_de_riemann_.pdf

[acteon2]

Je pense que tu as raison, et qu'il/elle travaille sur [1,2] car ce qui nous intéresse c'est ce qui se passe près de 1...l'idée est d'être minimaliste dans ses justifications en quelque sorte, car dans d'autre cas la convergence uniforme pourrait être fausse sur l'intervalle [1,+inf[, même s'il est vrai qu'ici ça ne change pas grand chose.
Enfin, à moins que j'ai raté quelque chose

[SuperPoule]

Bonjour et merci pour ta confirmation.
Je me demande si d'autres membres du forum ont un avis sur la question ?
L'introduction de ce segment [1,2] me semble totalement non justifiée et du coup je ne peux m'empêcher de penser que quelque chose m'a échappé...