Convergence uniforme d'une série de fonctions

[ludovic44]

Bonjour,

Soit une suite de fonctions toutes définies sur un intervalle I, à valeurs dans et telles que la série converge simplement sur I.

J'ai appris que pour montrer la convergence uniforme de cette série de fonctions sur I, on peut soit montrer la convergence normale, soit montrer que la suite des restes converge uniformément vers 0.

Sur ce deuxième point, je lis souvent des choses du type:

On a majoré la suite des restes par . Cette quantité ne dépend plus de ce qui prouve la convergence uniforme vers 0 de la suite .

Je ne comprends pas bien le lien entre cette majoration indépendante de x et la convergence uniforme de la série des restes...

Merci d'avance pour votre aide !

[tournesol]

on majore la suite des normes des restes.

[tournesol]

si pour tout x appartenant à I , |Rn(x)| , alors
étant donné que 1/n tend vers 0
soit e>0 il existe N tel que nN entraine 1/n <e
donc pour tout x dans I , |Rn(x)-0|<e
c'est la convergence uniforme de Rn(x) sur I.

[ludovic44]

Bonjour, merci pour votre réponse.
Oui, je crois comprendre, il s'agit donc d'une majoration par une quantité indépendante de x et cette majoration doit marcher quel que soit x.
J'ai compris aussi au passage pourquoi il était intéressant de le faire avec la suite des restes: ainsi, on connait la somme (fonction nulle) faute de quoi on ne pourrait pas faire la majoration.
Bonne journée

[tournesol]

Ensuite la convergence des restes vers 0 n'entraine la convergence (ici uniforme) que lorsque l'espace d'arrivée(ici R) est complet.
En géneral , la convergence simple (resp uniforme) des restes vers 0 est équivalente au critère de Cauchy séries simple(resp uniforme) .

[ludovic44]

Merci pour cette précision. Dans le démonstration, il n'est pas fait référence au critère de Cauchy uniforme

[tournesol]

Mais alors comment ton prof établit il la convergence simple de la série lorsqu'on a pas la somme ?

[ludovic44]

Je ne suis pas certain de comprendre ! Mais la convergence simple est souvent établie sans que la somme ne soit explicitée. Par les différentes méthodes sur les séries numériques par exemple (Riemann, d'Alembert, critère des séries alternées etc etc...).

PS: pas de prof dans l'équation, je suis enseignant dans le secondaire et je me motive, après 15 ans de métier, à travailler pour l'agreg interne. Le chemin risque d'être long !

[tournesol]

ok ludo pas de pb
tu as une série de fonctions qui converge simplement vers S sur I .
Dans ce cas pas besoin de Cauchy .
La série est uniformément convergente sur I ssi la suite Rn(x) converge uniformément vers 0 sur I .
En effet |Rn(x)|=|Sn(x)-S(x)| ou dans un evn ||Rn(x)||=||Sn(x)-S(x)||
Pour ton agreg interne , revoi cela dans le cadre des evn complets (Banach) et révise le critère de Cauchy pour les suites , les fonctions , et les séries .