Convergence uniforme

[Percolaptor]

Bonsoir,
je bloque sur la convergence uniforme de d_n(x)=x(cos(x))^n pour 0=

Je bloque egalement sur cette suite de fonction :
e_n(x)=x(sin(x))^(1/n) pour 0=

[klevia]

salut pour la 1 ère c'est facile :
si x = 0, dn(x) = x pour tous n
si x = pi/2 dn(x) = 0 pour tous n
si 0on pose cos x = a avec 0dn(x)=xa^n qui converge vers 0

Etudions maintenant la CVU sur [0,pi/2]
Pour tous n , dn(x) est continue , si dn CVU sur [0,pi/2] alors sa limite serait continue sur [0,pi/2] ce qui n'est pas le cas donc pas de CVU sur [0,pi/2]

Soit 0| dn(x) | <(pi/2) (cos b)^n qui tends vers 0
d'ou on a majoré dn par un terme indépendant de x la CV est uniforme

[ThSQ]

J'ai pas compris ce que tu as fait klevia.

En dérivant bêtement on voit que pour le 1er et donc conv. normale (voire même uniforme !)

[klevia]

Salut ThSQ,
je deviens peut etre vieille, mais ne parke-t-on pas de convergence normale que pour les série de fonctions ?

[klevia]

Je reprends donc !!!
J'avais dit si x=0 alors dn(x)=x
et ailleurs lim dn(x) = 0 donc c'est pas continue
Car en 0, elle vaut x et ailleurs elle vaut 0 mais en 0 ....si elle vaut x ...alors elle vaut 0 :mur:

Je deviens très vielle !!!!!

Du coup, j'ai effacé mon vieux post débile !!! J'ai trop honte !

[ThSQ]

Je sais pas, ça m'avait bien plu de dire ça ! Pas taper si ça n'existe pas.
Sinon à mon avis ça converge bel et bien uniformément.

[Percolaptor]

Bonsoir,
d'apres mon cours on parle bien de cv normale pour les séries de fonctions.
Pour une suite de fonction, ca se limite à la cvu.

Mais Thsq, je ne comprends pas comment t'a trouvé dn(x) =< 1/Vn car en derivant je trouve dn'(x)=(cos x)^n -nxsinx(cosx)^(n-1)
dn'(x)=(cosx)^n(1-nx.tanx) et ensuite ??

[ThSQ]

[quote="Percolaptor"]Bonsoir,
d'apres mon cours on parle bien de cv normale pour les séries de fonctions.
Pour une suite de fonction, ca se limite à la cvu.

Mais Thsq, je ne comprends pas comment t'a trouvé dn(x) = x.

[SimonB]

Oui, la convergence normale ne se comprend que pour une série de fonctions. A noter que, même si elle entraîne la CVU de la série, ce n'est pas une condition nécessaire -et parfois, on ne peut pas l'utiliser...