Convergence uniforme pour des matrices

[SuperPoule]

Bonjour,
En lisant une démonstration, je me suis posé une question.
La démonstration consiste à montrer que l'exponentielle de matrice () est continue sur . L'auteur fait cela sur un compact de et montre la convergence normale et il en déduit la convergence uniforme de la série.
Voilà ma question : je ne comprends pas bien cette notion de convergence uniforme pour des matrices (pour les fonctions OK, avec le sup...).
Est-ce un abus de langage ou faut-il considérer les matrices comme des fonctions de variables ?

[phyelec]

Bonjour,

Vous avez une somme de Matrice donc la convergence de cette somme à un sens : on cherche à savoir vers quelle matrice converge cette somme de matrice et de quelle manière elle converge le cas échéant.

[SuperPoule]

Bonjour phyelec et merci pour votre réponse.

Je me suis sans doute mal exprimé. Je comprends bien les différentes notions de convergence (simple, uniforme, normale) pour des séries de fonctions, mais je ne suis tout simplement pas certain de la définition lorsqu'il s'agit d'une fonction de dans .
Car pour la convergence uniforme on considère le sup, lorsqu'il s'agit de fonctions de dans , mais lorsqu'il s'agit de matrices, on considère quoi ? le sup des n^2 coefficients ? ou on se dit "peu importe" en dimension finie toutes les normes sont équivalentes...
Bref, dans y a-t-il une définition officielle pour la convergence uniforme ?

[phyelec]

Bonjour,

Voici comment je vois les choses.
Une matrice est associée à une application linéaire.Dans le cadre des matrices (ou des endomorphismes d’un espace de dimension finie), les résultats sur les matrices sont analogues avec les résultats sur les endomorphismes d’un espace de dimension fini.

[SuperPoule]

Merci encore, phyelec, pour votre réponse.

Je suis surpris de ne pas trouver une définition claire et précise dans la littérature mathématique.
On considérerait donc l'application de dans canoniquement associée à la matrice ?
Pour information, et pour être un peu plus précis, ce dont je parle est dans la partie "Continuité" du document suivant :
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/~mbouc892/expmatanti.pdf (page 3)
L'auteur montre la convergence normale sur les compacts de pour en déduire la convergence uniforme sur les compacts de . Du coup, j'ai l'impression sans en être certain, que l'on considère plutôt exp comme une fonction de variables...

[SuperPoule]

Bonjour,
Je réponds à ma propre question.

En fait, je pense qu'ici on utilise la version plus générale du théorème sur les suites de fonctions continues qui convergent uniformément, à savoir (référence Gourdon Analyse) :

Si et sont deux espaces métriques et est une suite de fonctions de dans , continues en , et que cette suite converge uniformément vers alors est continue en .

Dans le cas qui m'intéresse, avec l'exponentielle de matrice : et une norme d'algèbre. La fonction est alors la fonction définie sur par
On se donne un compact , la convergence normale de la série (sur ) garantie la convergence uniforme de la suite sur , au sens où