Soit
On peut montrer que
Puis, considérons
je veux montrer que
La convergence est-elle uniforme sur
Faut-il repartir de la définition?
Convergence uniforme exponentielle
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convergence uniforme exponentielle
par gilles3 » 22 Jan 2010, 20:10
Bonjour,
Soit_n)
dé finie sur 
par =\left(1 +\frac{x}{n} \right)^n)
.
On peut montrer que converge simplement sur et que sa limite est évidemment l'exponentielle.
Puis, considérons
je veux montrer que converge uniformément sur tout intervalle 
.
La convergence est-elle uniforme sur?
Faut-il repartir de la définition?
Soit
On peut montrer que
Puis, considérons
je veux montrer que
La convergence est-elle uniforme sur
Faut-il repartir de la définition?
par Ben314 » 22 Jan 2010, 20:14
Salut,
Indic : Un bon petit tableau de variations de-\exp(x))
sur ne peut pas faire de mal...
Sur, il ne risque pas d'y avoir convergence uniforme (je te laisse un peu réfléchir au pourquoi)
Je pense que oui...gilles3 a écrit:Faut-il repartir de la définition?
Indic : Un bon petit tableau de variations de
Sur
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Ben314 » 22 Jan 2010, 20:35
Je viens de voir, qu'en fait, le tableau de variation... c'est pas si évident que ça...
On y arrive quand même trés bien en utilisant le fait que, pour tout réel u on a ln(1+u)<=u ...
On y arrive quand même trés bien en utilisant le fait que, pour tout réel u on a ln(1+u)<=u ...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par gilles3 » 22 Jan 2010, 20:47
j'ai essayé de faire mon tableau de variation, on montre facile que f_n(x) est décroissante et négative sur [0,A], non?
par gilles3 » 22 Jan 2010, 20:54
de plus du fait que )
tend vers 
quand 
tend vers 
, donc la fonction 
tend vers 0 pour 
dans .
en revanche, si on a à la place de A, tend vers +
, donc 
ne converge pas uniformément sur 
mon raisonnement est-il bon?
en revanche, si on a
mon raisonnement est-il bon?
par SlowBrain » 22 Jan 2010, 22:25
C'est dans un devoir que tu as eu cette question? Je ne suis pas si sûr que l'on ait convergence uniforme locale :s Je vais chercher du papier et des crayons...
par Ben314 » 22 Jan 2010, 22:36
Peut être bien que oui... mais ça ne sert à rien...gilles3 a écrit:j'ai essayé de faire mon tableau de variation, on montre facile que f_n(x) est décroissante et négative sur [0,A], non?
Pour montrer la convergence uniforme de
C'est donc la fonction
P.S. : (pour slowbrain) : il y a bien C.V.U. sur tout intervalle [0,A] mais pas sur R+...
P.S.2 : Je pense même qu'il y a C.V.U. sur tout [-A,A] mais pas sur R- ni sur R+.
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par Ben314 » 22 Jan 2010, 22:58
La fonction -\left(1+\frac{x}{n}\right)^n)
a pour dérivée =\exp(x)-\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n-1})
.
Pour étudier le sens de variation, essaye de résoudre l'inéquation>\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n-1})
et tu devrais arriver à montrer que c'est tout le temps vrai...
Pour étudier le sens de variation, essaye de résoudre l'inéquation
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par gilles3 » 22 Jan 2010, 22:58
soit ^{n}-\exp x)
. 
est dérivable, décroissante et négative sur [0,A].
Ainsi,
est majorée par \right|=\left( 1+\frac{A}{n}\right)^{n}-\exp A)
.
Or, lorsque
, \right| \rightarrow 0)
, donc  \right| \rightarrow 0)
$
voilà c'est démontré sur [0,A].
Ainsi,
Or, lorsque
voilà c'est démontré sur [0,A].
par Ben314 » 22 Jan 2010, 22:59
Impecable.
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par Ben314 » 22 Jan 2010, 23:19
Tout à fait,
donc pour tout n, le sup est +oo et, évidement, ne tend pas vers 0 !!!
donc pour tout n, le sup est +oo et, évidement, ne tend pas vers 0 !!!
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