Convergence uniforme

[marawita1]

Bonsoir,

Comment prouver que la série des fonctions converge uniformément sur , avec .

Merci d'avance.

[Kolis]

Le théorème d'Abel (si tu le connais) donne la réponse pour les segments de .
Pour le segment tout entier, je ne vois pas.

[marawita1]

Franchement, je connais pas ce critère!!!!C'est quoi ce critère?

[GaBuZoMeu]

Tu peux voir une introduction rapide ici.

[marawita1]

Merci bien pour vos réponses. J'ai essayé comme suit:

Posons et

Il faut montrer les 3 points suivants:

1-

2- La série converge uniformément sur

3-la suite converge vers 0 uniformément sur

Le dernier point est évident. Pour le deuxième, je pense qu'à partir d'un certain rang, la suite

est décroissante , donc c'est la somme d'une série télescopique qui converge puisque la suite converge.

C'est correct?

Avez vous une idée pour le premier point?

[GaBuZoMeu]

La somme des , c'est la somme des parties imaginaires d'une progression géométrique ...

[marawita1]

@ GaBuZoMeu , franchement je n'ai pas compris ce que vous avez dit!!

[jsvdb]

Bonjour maravita1

simplement, et donc :

[Kolis]

J'aurais même mis qu'on peut calculer la somme des

[marawita1]

@ jsvdb et Kolis: Merci pour vosréponse. Donc il faut trouver tel que

pour tout et , on a
.

On a

=



.

Donc.

Je pense qui'il faut enlever les points et .

Après, quelle est la bonne majoration de sur?

[LB2]

Bonsoir,

tu ne peux pas majorer uniformément sur tout ]-pi, +pi[, il faut raisonner sur tout compact de ]-pi,+pi[ (raisonnement classique pour des séries de fonctions)

[marawita1]

@LB2: Si j'ai bien compris, soit un compact de , avec .

On a :

.

D’où le résultat. C'est correct?

[LB2]

que peux tu dire de la fonction x -> sin((pi+x)/2) sur le compact [a,b] ?

[marawita1]

Je pense qu'on peut rien dire: elle peut être croissante, décroissante ou bien les deux.

[Kolis]

Pour le majorant il est plus simple de noter que tout segment de est contenu dans un segment de sorte que tu majores par .

Il y a peu de chance que tu puisses établir une majoration uniforme sur ce qui n'est pas un drame, le théorème d'Abel n'étant qu'une condition suffisante.

Mais d'où vient ta question initiale ? Question posée par un livre ou un prof ?

J'ai des doutes qu'on t'ait demandé cela directement puisque tu ne connaissais pas le théorème d'Abel !
A mon avis la convergence de la série n'est pas uniforme sur un segment contenant : à vue de nez la somme de la série est quelque chose en prolongée par périodicité en dehors de .
A vérifier mais si c'est le cas tu aurais une somme discontinue en ce qui enlève toute espérance.

[marawita1]

Bonjour Kolis,

Franchement je ne vois pas comment trouver la majoration que vous avez proposé!!!

C'est un exercice dans un devoir précédent de mon Prof. de cours.

Je pense qu'on va étudier ça dans le cours.

Merci bien pour votre explication.

[LB2]

Revois les propriétés élémentaires de la fonction sinus, cela ne devrait pas te poser de problèmes. Ici, c'est le caractère borné sur [a,b] de x -> sin((pi+x)/2) qui permet d'effectuer la majoration.

[Kolis]

C'est un exercice dans un devoir précédent de mon Prof. de cours.

Oui mais je voulais m'assurer qu'il (le Prof ou l'énoncé original) avait bien mis le segment car si tu as mal recopié et "inventé" ce segment tout ce que tu demandes est sans intérêt.

[marawita1]

@LB2 : merci très bien, c'est clair.

@Kolis: J'ai vérifié l'énoncé: c'est bien . Si j'ai bien compris, le résultat est faux dans ce cas!!!!

Il faut travailler sur , c'est ça?

[jsvdb]

En général, si une suite de fonction continue ne converge pas uniformément vers sa limite sur un intervalle [a,b], je dis bien, en général, elle ne converge pas plus uniformément vers sa limite sur [a,b] sauf un nombre fini de points.
Dans ton exemple, il n'y aura pas plus de convergence uniforme sur qu'il n'y en aura sur .
Je suis même surpris (je n'ai pas fait les calculs) qu'il y ait convergence uniforme sur les voisinages de 0 (je me trompe peut-être, ce n'est que mon intuition)