Convergence uniforme

[zork]

bonjour,

j'aurai besoin d'une explication :
n dans N*
fn(x)=1/x si x=n
0 si x différent de n

on me dit que fn converge uniformément et on met Rn(x)=1/(n+1)
comment a-t-on trouvé le reste?

merci

[raito123]

Bonsoir,

Tu es sûr de ton énoncé ? ... On parle du reste lorsqu'on manipule des séries de fonctions ... ce n'est pas le cas ici ...

[Cryptocatron-11]

fn(x)=1/x si x=n

C'est pas plutôt 1/n au lieu de 1/x par hasard ?

[raito123]

C'est pas plutôt 1/n au lieu de 1/x par hasard ?

bonjour Cryptocatron-11 ,

ça revient au même je pense

[Cryptocatron-11]

bonjour,

j'aurai besoin d'une explication :
n dans N*
fn(x)=1/x si x=n
0 si x différent de n

on me dit que fn converge uniformément et on met Rn(x)=1/(n+1)
comment a-t-on trouvé le reste?

merci

Donc |Rn(x)| 1/n+1 => 1/n+1 qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

On en déduit que converge uniformément dans N*

Remarque importante :
elle converge pas normalement ! car diverge (série harmonique)

[Cryptocatron-11]

bonjour Cryptocatron-11 ,

ça revient au même je pense

Oui en effet j'avais pas vu que dans les conditions x était égal à n quand f(x)=1/x

[zork]

oui c'est pour cela que je m'intéresse à cet exemple
convergence uniforme mais pas normale

sinon il y a quelque chose que j'ai pas compris:
pourquoi cette inégalité:
|Rn(x)| est une série à termes positifs donc en sommant ces termes je vais dépasser 1/(n+1) non?

[Cryptocatron-11]

|Rn(x)| est une série à termes positifs donc en sommant ces termes je vais dépasser 1/(n+1) non?

Aussi bizarre que cela puisse paraître la réponse est non ça dépassera pas.

Explication :
On est sur [1;+infini[ et quelque soit x 1 on a :
. Dans cette somme , il y a au plus un indice tel que qui sera différent de 0 , c'est quand k=x

Quand tu va faire ta somme il y aura qu'un seul qui ne sera pas nul . C'est celui ou k sera égal à x. Pour les autres il vaudront tous zéro. Et ce dont on est sur c'est que

Tu comprends ?

[zork]

oui c'est bon.

mais j'aurai une question concernant le reste:
pour que la série converge uniformément il faut sup|Rn(x| ait pour limite 0

mais comment peut-on trouver le sup d'une série puisque Rn est une série?

[raito123]

Il n'y a pas de règle générale ... il faut s'adapter avec chaque exercice :)

[Cryptocatron-11]

pour que la série converge uniformément il faut sup|Rn(x)| ait pour limite 0

Oui c'est vrai

sauf qu'ici c'est un cas spécial et puis on cherche pas à connaître la valeur exacte du sup, ce qu'on veut c'est le majorer par quelque chose qui tend vers 0 ....

Edit : j'avais mal lu ton message dsl

[zork]

par exemple si je prend une série de fonction de terme général
avec n>=1

montrer que cette série ne converge pas uniformément sur R lorsque a<=2

je dois donc cherche le sup|Rn(x)| mais comment le trouver?

[Cryptocatron-11]

par exemple si je prend une série de fonction de terme général
avec n>=1

montrer que cette série ne converge pas uniformément sur R lorsque a<=2

je dois donc cherche le sup|Rn(x)| mais comment le trouver?

Bonne question (je suis en L2 comme toi je suppose donc je pourrais pas t'en dire +)

Ce que j'aurai essayé de faire c'est dériver afin de trouver le sup
Ensuite tu remplaces t par la valeur pour laquelle f ' s'annule (j'ai trouvé comme valeur) . On arrive à si a vaut 2 on a la série harmonique et on sait que ça diverge donc a doit être inférieur à 2

Sans aucune certitude ...

Ici je ne pense pas qu'il faille utiliser le reste dont tu parles.

[girdav]

@Cryptocatron-11 : attention, ce que tu as fait montre seulement que l'on n'a pas la convergence normale sur , mais on pourrait quand même avoir la convergence uniforme sur . En fait, il suffit de montrer que ça ne marche pas pour a=2, et pour cela on montre que .

[Cryptocatron-11]

@Cryptocatron-11 : attention, ce que tu as fait montre seulement que l'on n'a pas la convergence normale sur , mais on pourrait quand même avoir la convergence uniforme sur . En fait, il suffit de montrer que ça ne marche pas pour a=2, et pour cela on montre que .

je comprends pas pourquoi la sommation va jusqu'à 2n . peux tu m'expliquer ?

[girdav]

je comprends pas pourquoi la sommation va jusqu'à 2n . peux tu m'expliquer ?

En fait on peut prendre la somme jusque , ce qui montre que la suite des restes ne tend pas uniformément sur vers .

pour que converge sur il faut que , non ?

Qu'entends-tu par " converge sur " ?

[Cryptocatron-11]

Qu'entends-tu par " converge sur " ?

par j'entendais la série qui tend vers une limite L avec . mais ce L ne vaut pas forcément 0

Comment arrives tu à majorer par 1/5 ?

[girdav]

[Cryptocatron-11]

OK merci pour ton explication :lol3:

une dernière chose :

En fait on cherche à montrer que diverge

est ce que ça marche si j'utilise la technique des intégrales ?

Je pose
et j'essaie de primitiver afin de montrer que diverge