Convergence uniforme

[Anonyme]

Bonjour,



Jusqu'au tout va bien, c'est la suite les "sup" je ne vois pas à quoi ca correspond, quelle est la différence par rapport à la convergence simple et comment on trouve ces résultats.
Si quelqu'un peut me faire une petite explication, merci d'avance

a+
JP

[yos]

Bonsoir.

Convergence simple :
fn(0)=1 suite constante qui converge vers1.
Si t (fixé) est différent de 0, fn(t) converge vers 0.

Ainsi la suite fn cv simplement vers la fonction qui vaut 0 partout sauf en 0 ou elle vaut 1.

Convergence uniforme :
Elle n'a pas lieu sur R mais sur [a,+oo[ par exemple, où a>0.
On fixe n ; le sup de fn(t) pour t dans [a,+oo[ est exp(-n²a²) . Ensuite on regarde la suite exp(-a²n²) : elle converge vers 0 donc cvu sur [a,+oo[.

Tes lignes de formules sont incompréhensibles alors t'étonne pas de pas les comprendre.

[abcd22]

Si on fixe , on a , donc fn converge simplement sur R vers la fonction nulle sur R* et valant 1 en 0.
Pour qu'il y ait convergence uniforme vers 0 sur R*, il faut que le sup des |fn| sur R* tende vers 0 quand n tend vers l'infini. Or ici si on calcule à n fixé, on trouve 1, car , et cette fonction est continue et a 1 pour limite en 0. Donc le sup ne tend pas vers 0 et il n'y a pas convergence uniforme sur R.
Si on représente les fonctions fn pour n assez grand, on a un pic en 0, de plus en plus fin quand n augmente, et en dehors de ce pic la fonction est très proche de 0. C'est pour ça qu'il n'y a pas convergence uniforme sur R, mais qu'en dehors d'un intervalle ]-a,a[ pour a>0, il y a convergence uniforme.

Rq : C'est impossible qu'il y ait convergence uniforme sur R car une limite uniforme de fonctions continues est continue.